1.2.4 Үлкен сандар заңы

Сынау нәтижесінде кездейсоқ шаманың мүмкін мәндердің қайсысын қабылдайтынын алдын ала болжау іске асырылмайды, алайда кездейсоқ шамалардың айтарлықтай үлкен санының жиынтық тәртібі кездейсоқ сипатын жоғалтып, заңды болады. Орындау кезінде көптеген кездейсоқ себептердің жиынтық әрекеті заңды нәтижеге әкелетін шаттарды білу маңызды. Бұл шарттар 1713 ж. Бернулли теоремасында ((1.3)-формула, 1.2-параграф) тұжырымдалған, 1846 ж. П.Л. Чебышев жалпылап қорытқан және толықтырған.

Бернулли теоремасы. Егер сынау саны айтарлықтай үлкен болса, көп рет сынау жүргізгенде салыстырмалы жиілігінің ықтималдығынан ауытқуының сонша аз үйлесімді болуының ықтималдығы бірге жақын болады.

Чебышев теңсіздігі. Х кездейсоқ шамасының қандай да бір  оң санынан кем абсолют шама бойынша оның М(Х) математикалық үмітінен ауытқуының ықтималдығы кем емес.

. (1.33)

1.16-мысал. Чебышев теңсіздігін пайдаланып, Х кездейсоқ шамасының оның математикалық үмітінен ауытқу шамасының 3-дан артық болмауының ықтималдығын бағалаймыз

.

Чебышев теоремасы. Егер Х₁, Х₂, ..., Х_n тәуелсіз кездейсоқ шамаларының қатарында соңғы математикалық үміттер болса және олардың дисперсиялары шектелген болса (қандай да бір G санынан аспайтын болса), онда кездейсоқ шамалардың орташа арифметикалық мәні ықтималдығы бойынша олардың математикалық үміттерінің орташа арифметикалық мәніне жинақталады, яғни  кіші оң болғанда, мына теңдік дұрыс болады

. (1.34)

Сонымен, тәуелсіз кездейсоқ шамалардың айтарлықтай үлкен санының орташа арифметикалық мәні кездейсоқ сипатын жоғалтады, нәтижелеуші көрсеткіштің шашырауын елеулі азайтады.

1.3 Үздіксіз кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдары

Үздіксіз кездейсоқ шаманың үлестірім заңын оның f(x) тығыздық функ-циясы анықтайды.

1.3.1 Біркелкі үлестірім

Төмендегі тығыздықпен сипатталатын үздіксіз кездейсоқ шама ықтималдықтарының үлестірімін біркелкі деп атайды

x[a; b]-да f(x) = k = const.

Біркелкі үлестірім графигі мына түрде болады

1.4-сурет – Біркелкі үлестірім графигі

Үлестірім тығыздығы графигімен және х осімен шектелген тіктөртбұрыштың ауданы бірге тең болғандықтан (тығыздық қасиеті бойынша), онда

.

Біркелкі үлестірілген кездейсоқ шаманың әрқашан соңғы интервалда анықталғандығын атап кету қажет.

1.3.2 Кездейсоқ шаманың қалыпты үлестірімі

Тығыздықпен сипатталатын үздіксіз кездейсоқ шама ықтималдықтарының үлестірімін қалыпты деп атайды

. (1.35)

Қалыпты үлестірім екі параметрмен анықталады: а және σ. Қалыпты үлестірім беру үшін, осы пара­метрлерді білу жеткілікті.

Бұл параметрлердің ықтималдық мағынасы мынадай: а дегеніміз математикалық үміт, σ – қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың орташа квадраттық ауытқуы.

Қалыпты үлестірімнің тығыздығы графигін 1.5-суретте бейнеленген қалыпты қисық (Гаусс қисығы) деп атайды.

Қалыпты үлестірім қасиеттері:

1) анықтау облысы – - ∞-тен + ∞-ке дейін;

2) x = a болғанда, функцияның 1/(σ√2π) максимумы болады;

3) [(a-σ), 1/(σе√2π)] және [(a+σ), 1/(σе√2π)] нүктелері майыстыру нүктелері болып табылады.

a параметрі шамасының өзгеруі қалыпты қисықтың пішінін өзгертпейді, оны x осінің бойында ығысуына ғана әкеледі. σ өсуімен қалыпты қисықтың максимум ординатасы кемиді.

1.5-сурет – Қалыпты қисық

a = 0 және σ = 1 болғанда қалыпты қисықты нормаланған деп атайды

. (1.36)