1.1.5 Оқиғалардың дегенмен біреуінің пайда болу ықтималдығы
Жиынтығында тәуелсіз А1, А2, …, Аn оқиғаларының дегенмен біреуінің пайда болу ықтималдығы бір мен А1, А2, …, Аn қарама-қарсы оқиғалары ықтималдықтарының көбейтіндісі арасындағы айырымға тең
.
(1.13)
Егер
А1,
А2,
…, Аn
оқиғалары
тең
ықтималды
болса,
онда
.
1.5-мысал. Электр тізбегіне істен шығу ықтималдықтары р1=0,1; р2=0,15; р3=0,2, тәуелсіз жұмыс істейтін 3 элемент тізбекті қосылған.
Тізбекте токтың болмау ықтималдығын табу керек. Бұл есепті элементтерді параллель қосу шартында шешу керек.
Тізбекті қосқанда дегенмен бір элемент істен шыққанда тізбекте ток болмайды. (1.13)-формула бойынша төмендегіні аламыз
.
Параллель қосқанда барлық элементтер бір мезгілде істен шыққанда тізбекте ток болмайды. Элементтер тәуелсіз жұмыс істейтіндіктен, онда ықтималдықтарды көбейту теоремасы бойынша
.
1.1.6 Күмәнді оқиғалардың практикалық іске асырылмау принципі
Көптеген практикалық есептерді шешкенде ықтималдығы өте аз, яғни нөлге жақын оқиғалармен жұмыс істеуге тура келеді. Жеке сынауда А күмәнді оқиғасы болмайды деп есептеуге болады ма? Мұндай қорытынды жасауға болмайды, себебі А оқиғасының болатыны күмәнді болғанымен, жоққа шығарылмайды.
Жеке сынауда күмәнді оқиғаның пайда болуын немесе болмауын болжау мүмкін емес сияқты. Алайда ұзақ тәжірибе көрсеткендей, жағдайлардың басым көпшілігінде жеке сынауда күмәнді оқиға болмайды. Осы фактінің негізінде келесі «күмәнді оқиғалардың практикалық іске асырылмау принципін» қабылдайды: егер кездейсоқ оқиғаның өте аз ықтималдығы болса, онда жеке сынауда бұл оқиға болмайды деп есептеуге болады.
Әрине, оқиғаның ықтималдығы оның бір сынауда пайда болуы іске асырылмайды деп есептеуге болатындай қаншалықты аз болуы тиіс деген сұрақ туындайды? Бұл сұраққа бір мағыналы жауап беруге болмайды. Мәні бойынша әр түрлі есептер үшін жауаптары әр түрлі.
Оқиғаны іске асырылмайды деп есептеуге болатын (берілген анықталған есепте) айтарлықтай аз ықтималдықты маңыздылық деңгейі деп атайды. Әдетте практикада маңыздылық деңгейлерін 0,001-ден 0,05-ке дейінгі шекте қабылдайды.
Берілген принцип аз ықтималдығы бар оқиғалар туралы ғана емес, сонымен бірге ықтималдығы бірге жақын оқиғалар туралы да болжамдар жасауға мүмкіндік береді. Күмәнді оқиғалардың іске асырылмауы принципінен қосымшалар үшін маңызды келесі салдар шығады: егер кездейсоқ оқиғаның бірге жақын ықтималдығы болса, онда жеке сынауда бұл оқиға болмайды деп есептеуге болады.
1.1.7 Толық ықтималдық формуласы. Гипотезалар ықтималдығы
А оқиғасы толық топты құрайтын В1, В2, …, Вn бірлеспеген оқиғаларының біреуінің пайда болуы шартында болуы мүмкін деп болжаймыз.
Толық топты құрайтын В1, В2, …, Вn бірлеспеген оқиғаларының біреуінің пайда болуы шартында ғана болуы мүмкін А оқиғасының ықтималдығы осы оқиғалардың әрқайсысы ықтималдықтарының А оқиғасының сәйкес шартты ықтималдығына көбейтінділерінің қосындысына тең
.
(1.14)
Қарастырылған мысалда В1, В2, …, Вn оқиғалары гипотезалар деп аталады, себебі олардың қайсысы болатыны алдын ала белгілі емес.
1.6-мысал. Жәшікте 20 тетік бар, олардың ішінде 10 стандартты және 10 стандартты емес. Екі тетік кезекпен алынады (біріншісі қайтпайды). Екінші алынған тетіктің стандартты болу ықтималдығын табу керек.
Толық ықтималдық формуласын қолданамыз. Ізделіп отырған оқиғаны – А деп белгілейміз, бірінші тетік стандартты – В1 гипотезасы, бірінші тетік стандартты емес – В2 гипотезасы, онда
;
;
.
1.7-мысал. Екі автомат ортақ конвейерге түсетін бірдей тетікті шығарады. Бірінші автоматтың өнімділігі екіншісінің өнімділігінен екі есе жоғары. Бірінші автомат – 60 %, екінші 84 % стандартты тетік шығарады. Конвейерден тәуекелге алынған тетіктің стандартты болып шығу ықтималдығын анықтау керек.
Толық ықтималдық формуласы (1.14) бойынша
.
Бірқатар практикалық есептерде А оқиғасы болды деген болжамда гипотезалар ықтималдығын бағалау талап етіледі. Мұндай бағаны Бейес формуласының көмегімен жүзеге асыруға болады
.
(1.15)
1.8-мысал. Алдыңғы есеп шартында конвейерден тәуекелге алынған тетіктің стандартты болып шығу және бірінші автоматтың жасалуы ықтималдығын табамыз. Бейес формуласы бойынша
.