1.2.1 Үлестіру заңы және дискрет кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары

Дискрет кездейсоқ шаманы беру үшін оның барлық мүмкін мәндерін атап көрсету жеткіліксіз, олардың ықтималдықтарын да көрсету керек.

Мүмкін мәндер мен олардың ықтималдықтары арасындағы сәйкестікті дискрет кездейсоқ шаманы (ДҚШ) үлестіру заңы деп атайды. Үлестіру заңы кесте түрінде, аналитикалық және график түрінде берілуі мүмкін.

1.1-кесте – ДҚШ үлестіру заңы

ДҚШ мүмкін мәндері Х	х1	х2	…	хn
Ықтималдықтар, р	р1	р2	…	рn

Бір сынауда кездейсоқ шама бір және тек бір ғана мүмкін мәнді қабылдай алады, х₁, х₂, …, х_n оқиғалары толық топты құрайды, осыдан, олардың ықтималдықтарының қосындысы бірге тең ( ).

Егер мүмкін мәндер жиыны шексіз (санаулы) болса, онда р₁+ р₂+…+ р_n+… қатары қосылады және оның қосындысы 1( ) тең.

Оның барлық мүмкін мәндерінің олардың ықтималдықтарына көбейтінділерінің қосындысын дискрет кездейсоқ шаманың математикалық үміті деп атайды

. (1.19)

Математикалық үміттің келесі қасиеттері болады:

1) тұрақты шаманың математикалық үміті тұрақтының өзіне тең

;

2) тұрақты көбейткішті математикалық үміт таңбасының сыртына шығаруға болады ;

3) өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалар көбейтіндісінің математикалық үміті көбейткіштердің математикалық үміттерінің көбейтіндісіне тең

;

4) кездейсоқ шамалар қосындысының математикалық үміті қосылғыштардың математикалық үміттерінің қосындысына тең

.

Кездейсоқ шама және оның математикалық үміті арасындағы айырым ауытқу деп аталады

. (1.20)

Кез келген кездейсоқ шама үшін ауытқудың математикалық үміті нөлге тең

. (1.21)

Практикада оның орташа мәнінің айналасындағы кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің шашырауын бағалау талап етіледі. Бір қарағанда шашырауды бағалау үшін кездейсоқ шаманың ауытқуының барлық мүмкін мәндерін есептеп шығару және сонан соң олардың орташа мәнін табу барлығынан да оңай болып көрінуі мүмкін. Алайда мұндай жол ештеңе бермейді, себебі кез келген кездейсоқ шама үшін ауытқудың орташа мәні нөлге тең. Бұл мүмкін ауытқулардың – оң, ал басқаларының теріс болуымен түсіндіріледі; олардың өзара өтелуі нәтижесінде ауытқудың орташа мәні нөлге тең. Сондықтан ауытқу квадратының орташа мәнін есептеп шығарады, оны дисперсия деп атайды.

Математикалық үміт айналасындағы кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің шашырау сипаттамалары дисперсия және орташа квадраттық ауытқу болады.

Кездейсоқ шаманың оның математикалық үмітінен ауытқу квадратының математикалық үмітін дискрет кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп атайды

. (1.22)

Дисперсияны мына формула бойынша есептеу ыңғайлы

. (1.23)

Дисперсияның келесі қасиеттері бар:

1) тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең ;

2) тұрақты көбейткішті квадратқа шығарып , дисперсия таңбасының сыртына шығаруға болады;

3) тәуелсіз кездейсоқ шамалар қосындысының дисперсиясы қосылғыштар дисперсияларының қосындысына тең

.

Ескерту. Кездейсоқ шаманың дисперсиясы дегеніміз кездейсоқ емес (тұрақты) шама.

Дисперсиядан алынған квадрат түбірді кездейсоқ шаманың орташа квадраттық ауытқуы деп атайды

. (1.24)

Дисперсияның – кездейсоқ шаманың өлшемділігі квадратына тең, ал орташа квадраттық ауытқудың кездейсоқ шаманың өлшемділігімен сәйкес келетін өлшемділігі бар екені анық.

Өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың соңғы саны қосындысының орташа квадраттық ауытқуы осы шамалардың орташа квадраттық ауытқуларының квадраттары қосындысынан алынған квадрат түбірге тең

. (1.25)