46. Алгоритм теста Дарбина-Уотсона на наличие (отсутствие) автокорреляции случайных возмущений.

Большинство тестов на наличие корреляции по времени в ошибках системы используют следующую идею: если корреляция есть у ошибок ε, то она присутствует и в остатках е, получаемых после применения обычного МНК. Пусть нулевая гипотеза состоит в отсутствие корреляции, то есть В качестве альтернативной может выступать либо просто H₁: ‹‹не H₀››, либо односторонняя гипотеза, например H₁:

Широкое применение получил тест Дарбина-Уотсона. Тест основан на вычислении статистики DW:

Представим ее в следующем виде:

Пренебрегая слагаемыми и по сравнению с суммой в знаменателе, получаем: где r – выборочный коэффициент корреляции остатков регрессии, соседних по номеру наблюдений.

Предпосылки теста: случайные возмущения распределены по нормальному закону и гомоскедастичны. Поскольку коэффициент корреляции принимает значения то для значений статистики DW выполняется неравенство Вычисленное значение статистики DW не сравнивается с ее критическим значение, так как его невозможно затабулировать в силу зависимости от значений регрессоров. Тем не менее, Дарбин и Уотсон доказали, что существуют две границы, обычно обозначаемые d_U и d_L, . Границы d_U и d_L выбираются из таблиц Дарбина-Уотсона по числу наблюдения n, числу регрессоров K и уровню значимости α.

Значение статистики DW	Вывод
	Гипотеза H0 отвергается, есть отрицательная корреляция
	Неопределенность
	Гипотеза H0 не отвергается
	Неопределенность
	Гипотеза H0 отвергается, есть положительная корреляция

Множество возможных значений статистики DW можно представить в виде следующих пяти интервалов на числовой оси:

Алгоритм теста Дарбина-Уотсона

1. Настройка модели и вычисление остатков.

2. Вычисление статистики DW

3. Выбор табличных значений границ критического значения статистики: d_U и d_L (по параметрам n,K,α).

4. Определение интервала, в который попадает вычисленное значение статистики DW.

47. Способы корректировки автокорреляции (авторегрессионные модели первого порядка).

Одним из наиболее простых способов учета автокорреляции являются авторегрессионные модели различных порядков. Порядок авторегрессионной модели определяется максимальной величиной лага (m) случайного возмущения, включенного в спецификацию. Рассмотрим авторегрессионную модель первого порядка, в которой значение возмущения , определяется через его лаговое значение первого порядка. В этом случае спецификация регрессионной модели с авторегрессией случайного возмущения принимает вид:

где v_t, t = 1,...,n —случайные возмущения авторегрессионного уравнения — независимые нормально распределенные случайные величины: v_t,~ N(0, );

ρ — коэффициент авторегрессии (параметр модели) (-1 < ρ < 1):

ρ > 0 — положительная автокорреляция; ρ < 0 — отрицательная автокорреляция; ρ = 0 — автокорреляции нет, удовлетворяется третье условие Гаусса—Маркова.

Необходимо определить начальные условия модели. Начальные условия модели определяются нормальной случайной величиной ε_t ~ N(0, ) , где

Корректирующий множитель ( )^-1 служит для обеспечения гомоскедастичности случайных возмущений. Покажем это. Определим элементы автоковариационной матрицы возмущений.

Диагональные элементы:

Cov{e„e,} = Var{ ε_t } = Var{ρ + v_t }= Var { } + , t = 1,....,n. При t=1

и т. д., таким образом, для любого момента времени t дисперсия возмущения не зависит от времени:

т. е. задание дисперсии возмущения в начальном условии в виде обеспечивает гомоскедастичность случайному возмущению модели.

Данное выражение получено с учетом того, что случайные величины и v_t независимы.

Недиагональные элементы, ковариации между значениями случайных возмущений, разделенными лагом да: Cov{ }, m = 1,..., (n -1).

Данное выражение получено с учетом того, что случайные величины и v_t независимы. Из полученного выражения ковариации (/и = 1), в частности, следует, что

т. е. параметр авторегрессии представляет собой коэффициент корреляции между возмущениями соседних наблюдений (с учетом гомосксдастичности случайного возмущения).

и т. д. Таким образом, для любого лага от автоковариационная функция процесса не зависит от момента t, а зависит только от величины лага m:

В теории случайных процессов процессы с ковариационными матрицами, обладающими таким свойством, называются стационарными случайными процессами.

Автоковариационная матрица случайного возмущения е: