6.4 Үздіксіз және дискретті байланыс каналдарының өткізу мүмкіндіктері

Әмбебап дискретті арналар

Кодер берілетін символдардың электрлі кодты сигналдарға өзгертілуін қамтамасыз етеді. Әмбебап арнада енгізу мен шығаруда кодты сигналдар элементтері арасында бір текті сәйкестік болады (арнада қателіктер болмайды). Ақпаратты беру жылдамдығы кодердің өнімділігіне тең

C_k=V_kH_k [бит/с], (6.8)

мұндағы V_k=1/L – элементті кодты сигналдарды беру жылдамдығы [сигн./с], H_k – кодер энтропиясы [бит/сигн.], L – элементті кодты сигнал ұзақтығы.

Әмбебап арнаның өткізу қабілеттігі

C=V_max=V_klogm_k, (6.9)

мұндағы  m_k – кодтың негіздемесі. Өткізу қабілеттігі арнаның шекті сипаттамасы болып табылады. Егер код негіздемесі m_k тең болып, бір элементті код сигналын беру үшін L уақыты қажет болса, онда n ұзындықты сигналдардың кодты жиынын беру үшін T = nL уақыты қажет болады. T ұзақтықты кодты жиындардың жалпы саны N(T) = m_kⁿ тең. Сәйкесінше, бір кодты жиындағы ақпараттың максималды саны H_max=nlogm_k.  Өткізу қабілеттігі мынаған тең:

(6.10)

Осылайша, әмбебап дискретті арнаның өткізу қабілеттігін сигналдарды беру жылдамдығы мен код негіздемесі толығымен анықтайды.

Әмбебап дискретті арна үшін Шеннон теоремасы (дәлелдеусіз): егер дискретті арнада қателіктер болмаса, онда V орташа жылдамдығымен ақпаратты беру үшін қайнар көздің шығу жолында хабарламаны кодтауға болады. V > C-ден ақпаратты беру мүмкін емес.

Бұл теорема оптималды тиімді кодтарды құру үшін теориялық негіз болып табылады. Егер кодердің шығу жолындағы кодтау процесінде тең ықтималды тәуелсіз кодты сигналдардың пайда болуын қамтамасыз ететін болсақ, онда әрбір элементті сигнал максималды ақпарат көлеміне ие болып, кодердің өнімділігі максималды болады, ал ақпаратты беру жылдамдығы арнаның өткізу қабілетіне жақындайды.

Нақты дискретті арналар

Нақты арналарда үнемі хабарламаларды беру барысында қателіктер болады. Қателіктер арнаның өткізу қабілеттігінің жоғалуы мен ақпараттың жоғалуына әкеледі. Қателіктердің пайда болу ықтималдығы көбінесе сигналдардың бұзылуы мен тосқауылдардың пайда болуымен анықталады.

Берілген символға қатысты қабылданған символ қамтитын ақпарат көлемін немесе өзге символға қатысты бір символдың қамтитын ақпарат көлемін символдардың бірлескен пайда болу ықтималдығы үшін келесі формула көмегімен табады:

P(a_i,a_j^’) = P(a_i)P(a_j^’/a_i) = P(a_j^’)P(a_i/a_j^’), (6.11)

мұндағы P(a_i)  P(a_j^’)  – a_i және a_j^’ символдарының пайда болу ықтималдығы,  P(a_i/a_j^’)  – шартты ықтималдық.

Қабылданған кодты сигналды a_k2 , ал берілген кодты сигналды a_i1 деп белгілейік. Берілген a_i1 –ге қатысты a_k2  қабылданған символ қамтитын ақпарат көлемі былайша анықталады:

(6.12)

мұндағы, P(a_k2,a_i1) – a_k2, a_i1 символдарының бірлескен пайда болу ықтималдығы;

P(a_i1), P(a_k2,) – a_k2, a_i1 пайда болу ықтималдығы;

,  – сәйкес шартты ықтималдықтар. Егер символдар тәуелсіз пайда болса, онда   . Барлық қалған жағдайларда бір символ өзге символ туралы ақпаратты қамтиды және  .

Бір символ әкелетін қабылданған ақпараттың орташа көлемін (6.12) формуласын барлық i және k бөле отырып, аламыз, ал дәлірек айтсақ

(6.13)

(6.12) бөлшегінің екі формасын ескере отырып, ақпарат көлемі үшін екі жазу бөлшегін аламыз:

(6.14)

(6.15)

(6.14) және (6.15) формулаларын төмендегідей көрнекі түрде бейнелеуге болады:

(6.16)

(6.17)

(6.16), (6.17) формулаларының мағынасы мынадай. H(A₁) шамасы – бұл кодер энтропиясы, ал Н(A₁/A₂) шамасы – бұл арнада қателіктер үшін жоғалтылған ақпараттың орташа көлемі. Сәйкесінше, (6.16) ара қатынасы бір символда қабылданған ақпараттың орташа көлемін қабылданған символ энтропиясы мен тосқауылдар айырмасы ретінде анықтауға болатынын көрсетеді. (6.17) ара қатынасын жиірек қолданады, себебі, ол анықтауға жеңіл болатын тосқауыл энтропиясы арқылы анықтауға мүмкіндік береді.

Нақты арналардағы ақпаратты беру жылдамдығы  тең. Екі соңғы формулаларды пайдалана отырып, келесіні аламыз:

(6.18)

Егер қателіктер болмаса, онда   және (6.18) формуласы әмбебап арна үшін арналған формулаға айналады, онда  

Нақты дискретті арналардың өткізу қабілеттігі мынаған тең:

(6.19)

мұндағы максимумды іздеу операциясы сигналдарды беру және өңдеудің барлық тәсілдері бойынша орындалады.

Нақты дискретті арналар үшін Шеннон теоремасы мынадай (дәлелдеусіз): егер хабарлама қайнар көзі өнімділігі арнаның өткізу қабілеттігіне қарағанда төменірек болса, онда хабарламаны дискретті арна бойынша төмен қателіктер ықтималдығымен ақпаратты беретіндей кодтауға болады.

Аталмыш теорема түзетуші кодтаудың теориялық негізі болып табылады.