7.2 Сызықтық топтық кодтар

Сызықтық блоктық (n, k) коды деп – кодтық сөз болатын, екі кодтық сөздің соммасымен мінезделетін кодтық сөздер деп аталатын GF (q) n ұзындығының жүйелі N көптігі, ал өрістің элементіне әр кодтық сөздің шығарылуы кодтық сөз болып табылады.

Сызықтық кодтар деп – ақпараттық символдардың сызықтық комбинациясын тексеріс символдары ұсынатын кодтарды айтады. Екілік кодтар үшін сызықтық операция ретінде модуль 2 бойынша реттеу пайдаланылады.

Модуль 2 бойынша реттеу ережесі келесідей теңдіктермен анықталады:

Берілген кодқа жататын бірлік және нөлдер жүйесін кодтық вектор деп атаймыз.

Сызықтық кодтар қасиеті: сызықтық кодтың кодтық вектордың соммасы берілген кодқа жататын векторды береді. Сызықтық кодтар модуль 2 бойынша реттеу операциясына қатынасы бойынша алгебралық топты құрайды. Бұл мағынада олар топтық кодтар болып табылады.

Топтық кодтар қасиеті: топтық кодтардың кодтық векторлары арасындағы минимальді кодтық қашықтығы емес, кодтық векторлардың салмағына тең.

Кодтық вектордың салмағы оның нөлдік емес компоненттердің санына тең.

Екі кодтық векторлардың арасындағы қашықтық модуль 2 бойынша шығыс векторларының реттеу нәтижесінде алынған вектор салмағына тең. Мұндай жағдайда берілген топтық код үшін, k - кейбір толық сан болатын N=qk.

Егер q=2 болса, сызықтық кодтар топ деп аталатын математикалық құрылымды құрайтын кодтық сөздер топтық деп аталады. Бұл кодты сызықтық операциямен форматтауда mod2 бойынша соммалау болып табылады.

Сызықтық кодтар тапсырмаларының әдістері

1. Кодтың барлық кодтық сөздер тізімін құрастыру.

2. Белгілі ақпараттық бойынша тексеріс символдарын форматтау ережесін анықтайтын тексеріс дәрежесінің жүйесі:

j – тексеріс символдарының нөмірі;

i – ақпараттық символдардың нөмірі;

hij – нақты топтық кодтарды форматтау ережелерімен сәйкестікте 1 немесе 0 мәндерін қабылдайтын коэффициенттер.

Мысал. (5, 3) - коды үшін тексеріс теңдігі мынадай түрде болады:

b1=a2+a3;

b2=a1+a2.

3. Тексеріс және пайда болатын матрицаларды құруда негізгі, матрицалық. Vn векторлық кеңістік өзіне GF(2) – те 2n векторларын қосады. Сондықтан сызықтық (n, k) код толығымен осы кодқа жататын k кодтық сөзінен жиынтығымен анықталады. k кодтық сөзінен базиске сәйкес жиынтық негізінен, пайда болатын матрицалар түрінде ұсынылады.

Мысал. 1 – кестеде көрсетілген (5, 3) – коды мына матрица түрінде берілуі мүмкін:

Қалған кодтық сөздер түрлі үйлесімдегі матрица жолдары жинақтық болады. Түрлі нұсқадағы матрицаны туғызатын жалпы мөлшері мынандай мағынамен анықталады:

G (n, k) жазылуында бір мағыналық емес ерекшелігі үшін, келесідей түрдегі матрицалардың канондық немесе жүйелік туралы ұғым енгізіледі:

Ik – ақпараттық символдары бар бірлік матрица;

Rk, r – тексеріс символдардан құрылған тік бұрышты матрица.

Мысал. (5, 3) – коды үшін жүйелі түрде туылатын матрица.

Жүйелік түрдегі тексеріс матрица мына түрде болады:

Ir – бірлік матрица; - туылатын матрицадан Rk, r матрица транспортталған түріндегі тікбұрышты матрица.

Мысал. (5, 3) – кодының тексеріс матрицасы:

Сызықтық кодтардың негізгі қасиеті

1. әр кодтық сөзінің транспортталған тексеріс матрицасына шығармасы (n – k) мөлшеріндегі нөлдік векторын береді:

Мысал, (5, 3) – коды үшін.

2. кодтық сөзінің кейбір шығармасы немесе транспортталған тексеріс матрицасының қатесімен синдром деп аталады және Si(x) деп белгіленеді:

3. Пайда болатын және тексеріс матрицалар арасында жүйелік түрде бір мағыналық сәйкестік бар:

3. d0 (n, k) кодының кодтық қашықтығы тексеріс матрицаларының сызықтық тәуелді бағандарының минимальді санына тең.

Мысал, (5, 3) – коды үшін:

(5, 2) – коды үшін:

5. Ақпараттық сөзінің пайда болатын матрицаға шығармасы кодтың кодтық сөзін береді.

Мысал, (5, 3) – коды үшін:

6. Екі код эквивалентті деп аталады, егер олардың пайда болатын матрицалары координаттарының орын ауыстыруымен ажыратылса.

7. Әр сызықтық (n, k) – кодының кодтық қашықтық теңсіздікті қанағаттандырады (Сингтон шекарасы). теңдікті қанағаттандыратын сызықтық (n, k) коды, максималды қашықтықпен код деп аталады.

Топтық кодтың стандартты орналасуы

Топтық кодтың стандартты орналасуы топты ұсынатын барлық мүмкін n – элементтік сөз көптігінің, (n, k) – код құрайтын 2k кодтық сөзінің ішіндегі топ бойынша аралас кластардан ажыратылуын ұсынады.

Аралас кластардың лидері немесе бейнеленген түрі, олардың құрамында кодтық сөзінің қателерінің ең ықтимал түрлері немесе ең аз салмақтағы қате түрлері болғанда таңдалады.

Мысал, (5, 3) – коды мына матрицаларды

ал стандартты орналасу мына түрде болады:

7.1- кесте

00000	10111	01101	11010
00001	10110	01100	11011
00010	10101	01111	11000
00100	10011	01001	11110
01000	11111	00101	10010
10000	00111	11101	01010
00011	10100	01110	11001
10001	00110	11100	01011

Бұл код d0=3 қамтиды. Ол бірінші бағанда берілген конфигурациялардың жалғыз қателерін түзетуді кепіл етеді. Қателерді түзету процедурасы келесідей. Алынған кодтық сөзді талдайды және қай бағанда тұрғанын анықтайды, ал содан кейін бірақ түзетілген кодтық сөз ретінде жоғарғы жолда орналасқан сөзді алады.

Бірақ, егер кодтың ұзындығы үлкен және стандартты орналасу кестесі сондай болса, онда мұндай алгоритмді пайдалану ынғайсыз.