6.5 Уақыт бойынша дискреттеу

Жүйенің автоматты басқарылуын қарастырамыз, ақпаратты қорыту және қайта қадағалау нақты бір уақыт аралығында орындалады немесе дискретті түрде. Бұл уақытта жүйелерде сигналдардың бірнеше импульсы бірінен соң бірі іске асады және бұл жүйелер дискретті деп аталады. Дискреттік жүйені құру бірнеше қиындықтар туғызуы мүмкін.

Біріншіден, жүйеге кіретін бірнеше элементтер принципі дискретті болуы мүмкін. Мысалға, ракетаны басқару жүйесінде радиолокационды станция (РЛС) бар, ракетаны және координаталық бағытын өлшейді (1.1-сурет). Барлық орындалу принциптері арқылы ол ақпаратты дискретті түрде береді, сондықтан барлық басқару жүйесі дискретті болады. Басқа да мысал ретінде САУ-ды көрсетуге болады, құрамында сандық есептеуіш машинасы (СЕМ) бар және дискретті жабдықтар болып табылады.

6.3-сурет - Ақпаратты басқару жүйесінің блок - схемасы

Екіншіден, дискреттік жүйеде ең ыңғайлысы алгоритімдік басқаруды іске асыру. Бірақ, ЦВМ-ді қолданған кезде алгоритмдер программа түрінде тапсырылады, қиындықтар жүйенің конструкциясына ешқандай әсер етпейді. Алгоритммен басқаруды немесе программаны ауыстыру, уақыт шығынынсыз орындалады. САУ-да алгоритммен басқарудың қиындықтарын жоғарылату жаңа элементтер жүйесінің құрамына қосылуын сұрайды және де алгоритмнің ауысуы конструктор қиындығынан туындайды.

Үшіншіден, алгоритммен басқару шешімі дискреттік жабдықтар көмегімен (мысалға, ЦВМ) жоғары болып келеді. Ақпаратты дискретті қорыту сигналдардың импульстік сипатына байланысты оны жоғалтуларға әкеледі, импульстар, интервалдар кездеспейтін жерде қажетті ақпараттар қолданылмайды. Сондықтан да, егер алгоритмнің бір және сол шешімді орындауы үшін дискреттік немесе үздіксіз жабдықтарды қолдану керек, бірақ ақырғыларының нақтылығы жоғары болады. Ақпараттың жартылай жоғалуына дискреттік жабдықтардың әдістемелік қателігі қолданылады, бірақ ол өңделудің қалай істелуіне байланысты. Бірақ дискреттікте сондай-ақ, үздіксіз жабдықтардан да басқада қателіктер болады – инструментті, жеке элементтердің толық орындалмауынан, параметрлердің нақтылықтарынан, ішкі дауыстардан және естілмеушіліктен. Инструменттік қателіктер дискреттік құралдарға қарағанда біршама жоғары, және алгоритм өңделуі қиындаған сайын ол көбейе бастайды. Ақырында қателіктер саны дискреттік жабдықтарда инструменттік қателіктерге қарағанда өте аз, сондықтан да дискреттік жүйенің нақтылығын осыдан-ақ байқауға болады.

6.6 Котельников теоремасы бойынша есептеулердің дәлдігін таңдау

Дискреттік жүйені ұзағынан қолдануға аударылымдар басымдылығы үлкен үлес қосты. Олардың ішінде ең көп таралған ЦВМ жүйесі. Дискреттік жүйесінің жиыны төмендегі ерекшеліктерімен классификацияланады, проценттік басқару және методикалық іздеулер. Осы белгілер мен дискреттік жүйені сызықтық және сызықтық емес, стационарлы және стационарлы емес (параметрлерін уақыт аралық өзгертуге) деп бөлуге болады. Бұлардан басқа да белгілер бар, олар дискреттік жүйемен ғана сипатталады. Дискреттік САУ классификациясын бөлеміз және оларға толықтырулар береміз.

Дискреттік жүйе теориясын оқыған кезде мынадай түсініктерді айыруымыз керек, процесс және сигнал. Процесс көрсететін ақпарат жүйе арқылы өзгереді, ал сигнал оның физикалық шегі болып табылады. Осы екі түсінік үздіксіз жүйелерде қарастырылады, өйткені сигналдың белгісі кез келген уақытта процестің белгілеріне пропорциональды болады. Дискреттік жүйе теориясында белгіленген түсініктерді ажырата білу керек. Импульсті сигналдардың болуымен байланысты жүйесіндегі ақпарат жеке бөліктермен, кванттармен беріледі. Осы ақпараттардың түрленуін сипаттайтын процесстер дискретті деп аталады, ал үздіксіз процестердің дискреттіге түрленуі кванттау деп аталады. Кванттаудың үш түрі бар: уақыт, дәреже, уақыт және дәреже бойынша. Уақыт бойынша кванттау кезінде x(t) алғашқы үздіксіз функциясы x(tі) дискретті белгісіне түрленеді, мұнда (tі) уақыт өсіндегі уақыттың дискреттік мезеті. (tі) белгілер арасындағы арақашықтық өзіндік болуы мүмкін, бірақ тәжірибе жүзінде көп жағдайда 6.4, а-суретінде көрсетілген Тn тұрақты кезеңнің қайталануымен кезеңді түрде кванттау кездеседі. ti =iTn, бұндағы і саны -∞ тен +∞ дейін барлық толық белгілер түрінде берілуі мүмкін. Дәреже бойынша кванттағанда мүмкін болатын х барлық аймағы жеке дискретті дәрежелерге бөлінеді және дискретті процесс таңдалған дәрежелермен сәйкес келеді. 6.4, б -суретінде x(t) процесінің дәреже бойынша квантталуы көрсетілген, ол Δ қадамымен тұрақты түрде квантталған. Уақыт және дәреже бойынша аралас кванттағанда Tn және Δ қадаммен кезеңінің жағдайы 6.4, в суретінде көрсетілген. Дискретті процестің белгілері туралы ақпарат импульсті сигнал арқылы және оның параметрлерінің модуляция жолымен беріледі: амплитуда, ұзақтық, фаза, жиілік. Осыдан амплитудалы, ұзақтық, фазалық, жиілік модуляциялы жүйелерді ажыратады. Ерекше топ кодталған модуляция болып табылады, импульстер санын таңдау арқылы және олардың топтағы орналасуына байланысты процесс белгілері беріледі. Бұндай модуляция түрлері сандық есептеуіш машиналарда қолданылады. Кейбір дискретті жүйелерде модуляция түрі мен қолданылатын импульстер формалары ақпаратты өңдеу сапасына әсер етеді, ол зерттеу әдісін қиындатады. Кодталған модуляцияның бір ерекшелігі, ол импульстер формасы мен код типі жүйе жұмысына әсер етпейді.

6.4-cурет - Сигналдарды уақыт (а); дәреже (б); уақыт және дәреже (в)

бойынша кванттау

Егер дискретті процестің ақпаратының әрбір кванты уақыт бойынша және импульстердің, оның параметрінің модуляция түрлері көмегімен квантталса, онда дискретті жүйе импульсті деп аталады. Нәтижесінде импульсті жүйенің амплитудалы (АИМ), ұзақтық (ШИМ), фазалық (ФИМ), жиіліктік (ЖИМ) модуляция түрлерін ажыратады. Бұдан басқа аралас түрі бар модуляция жүйелері болады. Егер жүйедегі АИМ импульстер амплитудасы квантталған процестің белгілеріне пропорциональды болса, онда мұндай импульсті жүйелер сызықтық болады. Модуляцияның басқа да түрлерінде олар сызықтық емес жүйе класына жатады.

Егер САУ дискреттілерде дәреже бойынша квантталған процестер түрленсе, онда олар релейлі деп аталады. Уақыт және дәреже бойынша квантталған жүйелер сандық деп аталады. Релейлі және сандық жүйелер сызықтық емес болып табылады. Егер сигналдардың барлығы дискретті жүйе болса, онда олар таза дискретті деп аталады, егер сигналдардың бір бөлігі үздіксіз болса, онда олар дискретті үздіксіз деп аталады. Таза дискретті жүйедегі барлық сигналдар және процестер бірдей дискретті құрылымды болады, онда бұндай жүйе теориясы салыстырмалы жеңіл болады. Дискретті үздіксіз жүйе үздіксіз және таза дискретті арасында аралық жағдай болып табылады, сондықтан оларды зерттеу әдісі қиындау, өйткені үздіксіз және таза дискретті жүйесінің теориялық элементтері қоса болады. Осыдан дискретті жүйесінің теориясын таза дискреттіден бастап зерттеу керек, кейін дискретті үздіксіз жүйелерінің алынған нәтижелерін тарату керек. Терминологияны қиындатпау үшін «таза дискреттік жүйе» термині қолданылады. Дискретті жүйе теориясының дамуына Кеңес Одағының ғалымдары Я.3. Ципкин [16], Л.Т. Кузин [10] және т.б. үлес қосқан.

Ары қарай осы тарауды қарастырған кезде релейлі жүйе, ҰИМ, ФИМ және ЖИМ импульстік жүйе туралы тұжырымдаймыз. Осы жүйелер туралы мәлімет жоғарыда белгіленген әдебиеттерден алуға болады. Осылайша біз өзіміздің көзқарасымызды сандық және амплитудалы импульсті модуляциясы бар импульстік жүйелерге саламыз. 6.4 сур. көрсетілген кванттау түрлеріне қарасты уақыт және уақыт пен дәреже бойынша квантталған процесті қарастырамыз (6.4, а және б сур).

Дискретті жүйедегі процестердің ерекшелігі

Дискретті жүйедегі ақпараттың түрленуі уақыт немесе уақыт пен дәреже бойынша квантталған дискретті жүйелер түрінде беріледі. Осы процестерге арнайы белгілер енгізейік. Алғашқы үздіксіз процесстерден шығатын дискреттілер иілген деп аталады және қарапайым символмен белгіленеді, мысалы x(t).

Уақыт бойынша квантталған және Tn тұрақты кезеңі, Δ тұрақты қадамы бар дискретті процессті х(iTn) символымен белгілейміз (6.4, б сур.). Оны берлген иілгіш функция бойынша мына формуламен алуға болады:

.

F х(iТn) белгісіне жақын және Δ дәрежесі бойынша квантталған сан операциясы болып табылады. F операциясы сызықты емес болып табылады, сондықтан уақыт және дәреже бойынша квантталған процестері бар сандық жүйе сызықты емес класқа жатады. Олардың ерекшеліктерін келесіде жеке қарастырамыз, ал қазір уақыт бойынша квантталған х(iТn) процесстері бар сызықты дискретті жүйеге тоқталамыз.

	6.5-cурет - Дискретті функцияның бір келкісіздігі

Дискретті жүйенің жұмысы x(iTn) кіріс процестерінің у(iТn) шығыс процестеріне кейбір шарттармен түрленуіне негізделген. Схема түрінде ол 6.5-суретінде көрсетілген. Түрлену сипаттамасына байланысты дискретті жүйе үздіксіздер сияқты класстарға бөлінеді, яғни бақылаушы, стабилизациялаушы, интегрирлейтін және т.б, бірақ олардың түрленуі өзіндік ерекшеліктері бар, оларды біз қазір қарастырамыз. x(iTn) дискретті процессінің негізгі ерекшелігі олардың біркелкісіздігі болып табылады. Ол сол дискретті процесске басқа да әртүрлі иілгіштер сәйкес келуімен түсіндіріледі. Мысалы үшін 6.5-суретте екі функция берілген: x1(t) және x2(t), оларға х(iТn) процесстері сәйкес келеді. Дискретті функцияның бір келкісіздігі (у(iТn) жүйенің шығыс процессіне қарасты), (6.5 сур.), жүйенің жұмыс нәтижелерінің қате шешімдеріне әкелуі мүмкін, сондықтан пайда болатын біркелсіздерді минимумға дейін келтіретін шарттарды зерттеу керек. Біркелсіздердің пайда болуы кванттау кезіндегі уақыт аралығында ақпараттың жоғалуынан болуы мүмкін. Оның қалай болатынын жақсылап қарастырайық. Tn кезеңі және жиілігін кванттаған кезде х(t) = a cos ωt гармониялық процесі де соған тәуелді болады.

Алғашқы процесстің жиілігі мен ω0 иілгіш жиілік арасындағы тәуелділікті табайық (х(iTn) квантталған процесс). Бастапқы жиілік ω << Ω болсын. Квантталған сигнал 6.5, а суретте берілген. x(t) алғашқы процесінің жартылай кезеңінде x(iTn) дискреттік белгілердің үлкен саны қойылады, онда олар арқылы бақылаушыға алғашқы процесстің жиілігімен сәйкес келетін иілгіш жиілігінің белгісін оңай алуға болады. Осылайша онда дискреттік бойынша аздаған жиілігі бар біркелкісіздік болмайды. Егер ω0-тен ω (6.5 сур) тәуелділік құрсақ, онда ол ω << Ω де сызықты болады.

6.6-cурет - Гармоникалық сигналды кванттау

6.7- сурет - Стробоскопиялық эффект

ω жиілігінің дұрыс бағалануы тек әрбір жартылай кезеңде бір ғана x(iTn) белгі болу керек. Бұл жағдай 6.6, б суретінде көрсетілген және ол мына жиілікке сәйкес келеді:

ω > да әрбір жартылай кезең x(iTn) бір белгісінен аз келеді, ол ω анықтауда біркелкісіздікке әкеледі. Егер ω = Ω алсақ, онда шығыс процессінің иілгіш жиілігі (6.6, в сур.) ω0 = 0 тең болады, ол 6.6 суретінде берілген.

ω = 3Ω/2 (6.6, г сур) кезінде біз ω = кезіндегі с x(iTn) сәйкес келетін дискретті процессті аламыз (6.6, б сур.). ω жиілігінің бағалануы алғашқы процестің (ωо дискретті процесстің иілгіш жиілігі бойынша) біркелкісіздігі болады. Бұл тәуелділіктің графигі 6.6 суретінде белгіленген. Біркелкілік тек мына диапазонда сақталады:

0 < ω <

Ω 2

Сипатталған қасиет стробоскопиялық эффект деп аталады және дискретті жүйенің ең қажетті ерекшелігі болып табылады. Осыдан дискретті жүйенің құрауына негізгі шешім қабылданады: дискретті жүйенің еңбекке қабілеттілігі болу үшін және оның шығыс деректері біркелкі интерпретациялы болу керек, сонымен қоса Ω > 2ωгр шартынан кванттау жиілігін таңдау керек, бұл жерде ωгр – кіріс хабардың спектрының максимальды жиілігі. Алғашқы рет оның теоремасын 1933 жылы академик В.А. Котельников жазған. В.А. Котельников теоремасы Ω кванттау жиілігінің белгісінің минимальділігі немесе Tn дискреттік кезеңінің максимальділігін айқындайды, Tn кезеңі уақыт бойынша квантталатын ақпаратты қатесіз түрлендіреді.

Котельников теоремасы, жарықтың жылдамдығының шектеулі сипаттамасы және анықсыздығы шешілмейтін қарама-қайшылыққа түседі. Котельников теоремасы «Fв, Гц жиілігінен аспайтын спектр толығымен қалыптасуы мүмкін, егер 1/(2Fв)с уақыт аралығында алынған осы сигналдың есептік белгілері мәлім болса».

Гейзенберг анықсыздық принципі. Микро бөлікшелердің қасиетін тәжірибелік зерттеген кезде (атом, электрон, ядро, фотон т.б) олардың динамикалық өзгерулердің нақтылығы (координат, кинетикалық энергия, импульстер т.б) шектелген және анықсыздық принципімен басқарылады. Осыған сәйкес жүйені сипаттайтын динамикалық өзгерулер екі топқа бөлінеді (қосымша):

1. уақыттық және кеңістік координаттары (t және q);

2. импульс және энергия (p және E).

Осыған орай әртүрлі нақтылық дәрежесінен алынған әртүрлі топтардағы өзгерулерді анықтау мүмкін емес (мысалы, координаттар және импульстер, уақыт және энергия). Бұл жабдықтар мен техника тәжірибе шектеулі шешуші қасиетімен байланысты емес, табиғаттың фундаментальды заңын көрсетеді. Оның математикалық формуласы мына салыстырмалықпен беріледі:

dqdp≈h/2π, (6.20)

dEdt≈h/2π, (6.21)

мұндағы dq, dp, dE, dt – координат импульс энергия және уақыт өлшемінің анықсыздығы, осыған сәйкес h – тұрақты планка болады.

Эйнштейн постулаты жарық жылдамдығына тұрақты. Салыстырмалық теориясы тұжырымдайды: вакуумдағы жарық жылдамдығынан асатын материалды объектілердің ондай жылдамдығы болмайды.

Көбі электрон жылдамдығы жарық жылдамдығына сәйкес бола алмайды деп тұжырымдайды.

Әр жағдайда да нақ осы шақтағы электронның жылдамдығы шектеулі болады. Материалдық дененің және бөлшектерінің нақ осы шақтағы жылдамдығы шектеулі болу керек, өйткені оның кинетикалық энергиясы шектелген. Күштер мен аймақтардың шектеулі потенциалды энергиясына байланысты бөлшектердің үдеуі – көлемді шектеулік. Траектория – жазық функция, онда барлық уақыт бойынша көлемді өнімдер шектелген (жылдамдық, үдеу, үдеу өзгерісінің темпі т.б).

Яғни кез келген материалдық бөлшектің траекториясы кеңістіктегі шектеулі теңселу спектрымен сипатталады (керек болса уақыт кеңістігінде). Бұл жағдайда Котельников теоремасына қарасты, бұл шектеулі спектрлі функция спектор шегіне сәйкес келетін жартылай немесе жиіліктің өзі арқылы алынған көлемдік есеп болуы мүмкін. Егер есеп берулер аз ғана қателікпен алынған болса, онда аралық белгілер осындай қателікпен қалпына келуі мүмкін. Бұдан, уақыттағы қателікпен белгіленген бөлшектің (жылдамдық, үдеу) бар екенін білсек онда бұл шкаланың бөлшектенуі өте ұсақ және зерттелетін көлемнің аралық белгілері осы уақыт функциясындағы шектеулі спектрінен алынады. Осылайша уақытты нақтылау координаттың қателігін ұлғайтуға әкелмейді. Анықсыздық принципі – тәжірибелік жолмен алынған салыстырмалық.

Оның өлшемдерінің нақты көлемі мен нәтижелерін айқындау керек. Уақыттағы кез келген стационарлы көлемді орталықтандыру оның дисперсиясын төмендетеді. Сондықтан кез келген стационарлы көлемді өлшеу нақтылық нәтижесін жоғарылатады (анықталған шекке дейін). Оның керісінше тәуелділігі бар – уақытты өлшеуді қысқарту дисперсия нәтижесін жоғарылатады. Ол өлшемнің аппаратты және әдістемелік қателіктерге байланысты, бірақ өлшемнің қателігінің өсуі дисперсиясының ұлғаюына дәлел болмайды. Уақыттың аздаған интервалында біз нашар нақтылықты аламыз. Ол тұрмыстық деңгейде түсінікті – бір нәрсені өлшеу үшін таразы тостағаншалары теңселмеу керек.

Жиілікті өлшеу кезіндегі қателіктерді өлшеу өлшеу интервалының өсуімен төмендейді және оның төмендеуімен өседі. Бұл кейбір жағдайда өлшенетін жиілікте фазалық дивиация сәйкестігі болады. Бірақ, өлшеу интервалын төмендеуімен қателіктердің теориялық өсуі шексіздікке дейін барады, фазалық шулардың өсуі осы тәуелділікке бағынбайды. Осыған орай өлшеу нәтижесінің дисперсия ұзындығы, өлшеу интервалының ұзару белгісінен бастап сигналдың қасиетіне емес өлшеу әдісінің қасиетіне енгізу керек.

Бұл көріністі зерттеулі бөлшектерге және басқада өлшеулерге қолданады. Нәтиже девиациясының өсуін тәжірибелік бақылаған да өлшеу құрылғы қателігінің (бақылаушы) жабдықтар өлшегішінің қасиетін анықтайды, бірақ нақ осы шақтағы бөлшектер траекториясына ешқандай қатысы жоқ. Теорияда өзіндік траектория түріне орын жоқ. Элементарлы бөлшектердің теориялық механикасында негізгі шарттар мен зандылықтардың терминдерінде алғашқы тапсырма шарттары түрленеді, ондағы шешімдер мүмкін белгілерде түрлендеу керек, керісінше алғашқы шарттағы нақты нәтижесінен алынған нақты басқару түрінде болу керек.

Егер алғашқы шарттар белгілі болса (өлшеу нәтижесінде), онда траекториялар сәйкес анықсыздықпен өлшенген және есептелген болу керек. Басқаша айтқанда, зерттеулі тапсырма анықсыздық прнципіне бағыну керек, яғни белгілі қателік алдынғы және келесі көлемдік есептермен сәйкестікке арналған теориялық есеппен кемуі тиіс емес. Бірақта, Котельников теоремасы мен алынған нәтижесінен аспау керек.

Теориялық тапсырма (алғашқы заттардың нақты білімін принципке жіберетін) оған бағынбау керек, яғни жіберілген азғантай қателіктердегі алғашқы параметрлердің көрсетілуі статистикалық және детерминирленген есепті беру керек.

Мысалы, классикалық түрдегі теориялық механикадағы денелердің кедергі күштерінің болмауында дене өзінің тепетеңдігін және қозғалыстың түзу сызықтылығын көпке дейін сақтауы мүмкін. Тәжірибе жүзінде, мұз қанша тайғанақ болса да шайба әрқашан тоқтайды. Нөлдік үйкелісу қамтамасыз ету мүмкін емес.

Бірақ өлшеу әдісінің анықсыздық нәтижесі ретінде қарастыруға болады. Мысалы, t1 интервалында элементарлы бөлшекте x1 координатасы бар делік, импульс p1, энергия E1 және бұл өлшемдер қателіктен болған делік, осыған сәйкес dt, dx, dp, dE. Сонда, t2=t1/N интервалын таңдаған кезде (t1 интервалының ішінде), N белгісі (2) салыстырмалықты сақтайды. Осыған орай t2 нөлге тырмысады. Бұл үшін ((2) салыстырмалығы орындалуды жалғастыру үшін) dE шексіздікке дейін өсуін қамтамасыз ету керек. Әрине ондай ешқашан болмайды, кез келген бөлшектің соңғы энергиясы болады.

Осыған сәйкес кез келген траекторияда электрон өзінің энергиясын жоғарлатты делік (мысалы, екі есе), онда егер кішкене қателік болса да осы екі белгі арасында электронның осы траекторияның аралық нүктесінде орталық мағынасы болды. Біз осы орта белгіні бірнеше рет қолдануымызға болады. Әрине бір мезетте электрон осы белгіге ие болған. Біз теориялық тұрғыдан нөлдік қателігі бар энергияны атауға болады. Ол үшін (6.20) салыстырмалық орындалу үшін берілген траекториядан электронның шексіздікке дейін өсуі керек.

Онда бұл энергия үздіксіз үлкендік емес, дискретті. Онда логикалық тұжырымдағанда біз кеңістікте дискретті көлемдерден тұратынын, уақыттың үздіксіз емес өтуін, яғни дискретті, табиғаттаы барлық көрініс дискретті жағдайдың жалғасуы деп дәлелдеуімізге болушы еді.

Осындай көріністің екі кемшілігі бар, аникалық схоласт Зенон бұл ойды бірнеше рет тұжырымдаған, бірақ ғылым оны бірнеше рет шектеткен.

1. Егер дискретті көлемдік оның үлкен кемшілігіне қарасты өлшенбейді, онда оның дискреттілігі туралы айту да қажет емес, жай айтқанда, үздіксіз көлемдік туралы айтқан ыңғайлы. Сфера түзу қиындылармен сәйкестелген көрінісін айқындауға болады, бірақ осы қиындылардың ұзындықтары шексіз азаюында (оның бір мезетте ұлғаюы) басқа көрініс береді – көп бұрыш сфераға абстракцияның шектелген белгі ретінде ауысады. Егер біз қозғалысты тұрақты жылдамдықты қозғалыстардың кезектесіп ауысуын елестетсек онда біз интервалдар шектерінде шексіз үдеуді анықтай аламыз.

2. Егер дискретті көлем өзіндік алынған болса онда дискрет туралы емес жылжымалы функция туралы айтамыз. Атомдар, иондар және молекулалар сәулелену спектрі энергиясы – бұл жылжымалы түрде ауыспалы функция. Спектрлерді Доплерлік кеңейткенде және басқада әйгілі көріністердің орны болмаушы еді, егер энергия барлық әсерлесу жағдайлары үшін фиксерленген дискретті түрде өзгерсе. Бірақ квант энергиясы – бұл ауыспалы көлем (ұлғаю). Осылайша энергияның дискреттілігі туралы айту мүмкін емес.

7- тарау. Криптографиялық кодтау