17. Схема гибели и размножения. Формула Литтла.

система дифференциальных уравнений

После преобразований получаем

Эти уравнения могут быть решены при начальных условиях

_{Pn0(0)=1, Pn(0)=0, n=/n0}

частотными методами с использованием преобразования Лапласа.

После преобразований уравнений Колмогорова очевидно, что вероятности того, что система не изменит свое состояние P(nn), не влияют на вероятности состояний (образуют в уравнениях пару слагаемых с противоположными знаками). Поэтому в дальнейшем на графах переходов мы будем указывать только вероятности переходов типа Pn,n+1 и Pn,n-1 и указывать только интенсивности переходов. Тогда в общем случае для марковских систем мы получаем граф переходов следующего вида:

Здесь каждое из средних состояний связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний. Такой граф называется схемой гибели и размножения. Найдем один раз и навсегда для этой схемы вероятности состояний установившегося режима.

E0: 0=-λP₀+µ₁P₁ или P₁=P₀λ₁/µ₁

E1: 0=λ₁P₀+µ₂P₂-( λ₂+ µ₁)P₁

отсюда P₂=P₁λ₂/μ₂ аналогично

En: 0=λ_nP_n-1+µ_n+1P_n+1,-( λ_n+1+ µ_n)P_n, отсюда P_n=P_n-1λ_n/µ_n.

Преобразуем

Учитывая, что получаем

и

Полученные формулы мы будем в дальнейшем использовать для расчета вероятностей состояний различных СМО.

Формула Литтла.

ф ормула, связывающая (стационарного режима) среднее число заявок в системе и среднее время пребывания заявки в системе.

Для таких СМО справедлива формула Литтла =>

Для любой СМО среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.

А налогично выводится формула, связывающая среднее число заявок в очереди (v) и среднее время пребывания заявки в очереди (w)

18. Одноканальная смо с отказами.

Рассмотрим одноканальную СМО с отказами.

Простейшая задача: СМО содержит один канал обслуживания; заявка, поступившая на вход системы и заставшая канал занятым, получает отказ в обслуживании и теряется.

М/М/1/L .Граф переходов:

Тогда

или , .

И сходя из условия , и начальных условий

получаем

Для стационарного режима

Получим некоторые характеристики СМО.

Вероятность отказа заявка получит отказ, если канал занят

Относительная пропускная способность (q) равна среднему числу обслуженных заявок к общему числу поступивших заявок (показывает долю обслуженных заявок):

Абсолютная пропускная способность (A) - число обслуженных заявок в единицу времени

Среднее число занятых каналов (z) равно среднему числу заявок в системе

С реднее время, проведенное заявкой в системе

19. Многоканальная смо с ожиданием.

Рассмотрим случай s одинаковых каналов обслуживания (M/M/S/ ) с интенсивностью обслуживания каждого прибора. При простейшем входном потоке и экспоненциальном времени обслуживания правило выбора канала не влияет на функционирование системы, т.е. на число заявок, находящихся в системе, на время ожидания.

Граф переходов

Интенсивность обслуживания возрастает с ростом числа занятых каналов. Как только все каналы оказываются занятыми заявками, интенсивность обслуживания в системе перестает расти, вновь пришедшие заявки становятся в очередь, ожидая освобождения какого-либо из каналов.

По графу строим уравнения вероятностных состояний

Выведем основные характеристики системы

Абсолютная пропускная способность

Отсюда, среднее число занятых каналов

Среднее число заявок в очереди

Общее число заявок в системе

Для того чтобы многоканальная система с бесконечной очередью имела стационарный режим, должно выполнится условие