§ 2. Классическое определение вероятности 153

будем получать ту же сумму шестью различными способами. В реальной

игре это различные и равноправные варианты бросания. По-видимому, об

этом и сказал Галилей ландскнехту.

Найдём вероятности выпадения сумм в 11 и 12 очков при бросании трёх

костей. Для простоты рассуждений видоизменим условие задачи. Посколь

ку кости при бросании двигаются независимо друг от друга, то бросание

трёх костей сразу можно заменить бросанием три раза по одной. Тогда ис

ходом будет упорядоченная тройка чисел — количество очков, выпавших

на первой, второй и третьей костях. При каждом бросании может выпасть

от 1 до 6 очков, поэтому число всех исходов испытания n = 6 · 6 · 6 = 216.

Пусть событие A состоит в появлении суммы 11, а событие B — сум

мы 12. Найдём число исходов, благоприятных событию A:

1+5+5, 5+1+5, 5+5+1 — 3 варианта;

1+4+6, 1+6+4, 4+1+6, 4+6+1, 6+1+4, 6+4+1 — 6 вариантов;

2+3+6, 2+6+3, 3+2+6, 3+6+2, 6+2+3, 6+3+2 — 6 вариантов;

2+4+5, 2+5+4, 4+5+2, 4+2+5, 5+4+2, 5+2+4 — 6 вариантов;

3+3+5, 3+5+3, 5+3+3 — 3 варианта;

3+4+4, 4+3+4, 4+4+3 — 3 варианта.

Итак, m(A) = 3 + 6 + 6 + 6 + 3 + 3 = 27, и вероятность события A

равна P(A) = 27/216 = 1/8. Рассуждая аналогично, легко найти m(B) = 25

(сделайте это самостоятельно). Поэтому P(B) = 25/216 < P(A).

При вычислении вероятноcтей часто бывает весьма непросто найти чис

ло исходов испытания. В таких случаях используются комбинаторные фор

мулы, которые мы обсуждали в предыдущей главе.

Пример 2.4. Найдите вероятность того, что четырёхзначный номер слу

чайно замеченного автомобиля состоит из одинаковых цифр.

Решение. Каждая цифра номера может быть одной из десяти, a испыта

нием является выбор какой-либо четвёрки цифр. По правилу умножения

количество всех возможных номеров, то есть число всех исходов, равно

10 · 10 · 10 · 10 = 10000. Пусть событие A состоит в том, что все цифры вы

бранного номера одинаковы. Благоприятных исходов будет 10: 0000, 1111,

. . . , 9999. Итак, n = 10000, m(A) = 10 и P(A) = 10/10000 = 0,001.

Пример 2.5. Во время процедуры опознания двух подозреваемых посадили

на скамью вместе с восемью другими лицами. Какова вероятность того, что

на скамье между подозреваемыми оказалось ровно 3 человека?

Решение. Занумеруем места на скамье числами от 1 до 10. Тогда любое

расположение двух подозреваемых описывается парой чисел, причём пары

(a, b) и (b, a) считаются различными. Например, если первый из подозрева

емых сидит на третьем месте, а второй — на седьмом, то такому располо

жению отвечает пара (3,7). Испытанием будет выбор упорядоченной пары

154 Глава VI. Понятие вероятности

чисел, а число всевозможных исходов есть число размещений из десяти по

два, то есть A2 = 10 · 9 = 90. Событие A состоит в том, что разность между

10

числами пары равна 4 или −4 (это и означает, что между подозреваемыми

находится 3 человека) и ему благоприятны следующие исходы: (1,5), (5,1),

(2,6), (6,2), (3,7), (7,3), (4,8), (8,4), (5,9), (9,5), (6,10), (10,6). Всего, как мы

видим, получилось 12 пар. Поэтому P(A) = 12/90 = 2/15.

Пример 2.6. Программа экзамена содержит 30 вопросов. Студент зна

ет 20 из них. Каждому студенту предлагают 2 вопроса, которые выбирают

ся случайным образом. Положительная оценка ставится в том случае, если

студент правильно ответил хотя бы на один вопрос. Какова вероятность

успешной сдачи экзамена?

Решение. Рассмотрим испытание, состоящее в выборе двух из тридцати

вопросов. Исходом испытания является пара вопросов. Поскольку порядок,

в котором выбираются вопросы, несущественен, то число всех n исходов

2 30 · 29

равно числу сочетаний из тридцати по два: n = C30 = = 435.

1·2

Пусть событие A состоит в том, что студент знает хотя бы один вопрос из

двух. Благоприятные событию A исходы разделим на две группы: в первую

включим пары с одним известным студенту вопросом, во вторую — пары

с двумя известными ему вопросами. Пары первого типа составляются так:

один вопрос выбирается из двадцати знакомых, другой — из десяти незна

комых. По правилу умножения число таких пар равно 20 · 10 = 200. Пары

второго типа получаются выбором двух из двадцати знакомых вопросов.

2 20 · 19

Их число равно C20 = = 190. Число всех благоприятных исходов

1·2

200 + 190 = 390 и P(A) = 390/435 = 78/87 ≈ 0,8965.

Пример 2.7. Преступник знает, что шифр сейфа составлен из цифр 1, 3, 7

и 9, но не знает, в каком порядке их набирать. Какова вероятность того, что

первые две цифры он набрал верно? Какова вероятность, что преступник

откроет сейф с первой попытки?

Решение. Для ответа на первый вопрос будем считать исходом упорядо

чённую пару первых цифр шифра. Число таких пар равно числу размещений

из четырёх по два, то есть 4 · 3 = 12. Поскольку в этом случае только один

исход является благоприятным, то искомая вероятность равна 1/12.

Во втором случае исходом испытания является произвольная переста

новка из цифр 1, 3, 7, 9. Число всех исходов поэтому равно 4!= 24. Так как

только один из них является благоприятным, то вероятность открыть сейф

с первой попытки равна 1/24.

Пример 2.8. В студенческой группе (12 девушек и 8 юношей) разыгрыва

ются 5 зарубежных путёвок. Какова вероятность того, что путёвки получат

три девушки и двое юношей?