§ 3. Операции над событиями 155

Решение. Рассмотрим испытание, состоящее в выборе пяти обладателей

путёвок. Исход испытания — 5 студентов. Общее количество исходов —

5

число сочетаний из 20 студентов по 5, n = C20 .

Пусть событие A состоит в том, что путёвки получат три девушки и двое

юношей. Каждый исход, благоприятный этому событию, представляет груп

пу, состоящую из трёх девушек и двух юношей. Составление такой комби

нации можно описать с помощью двух действий: первое действие — выбор

3

трёх девушек из двенадцати (число способов равно C12) и второе — выбор

двух юношей из восьми (число способов равно C8 2). По правилу умножения

3 2

m(A) = C12 · C8 и

m(A) C3 · C2 12 · 11 · 10 · 8 · 7 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5

P(A) = = 12 5 8 = =

n C20 1 · 2 · 3 · 1 · 2 · 20 · 19 · 18 · 17 · 16

11 · 4 · 5 220

= = = 0,22703 . . . ≈ 0,2270.

19 · 3 · 17 969

Упражнения

1. Игральная кость брошена два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков

окажется равной: а) 11; б) 7; в) 8?

2. В партии из 100 деталей имеется 10 бракованных. Для проверки отобрали 5 деталей.

Найдите вероятность того, что среди отобранных деталей окажется только одна бракованная.

3. Для включения в избирательный бюллетень нужно выбрать 8 из десяти кандидатов. Какова

вероятность того, что в бюллетень попадёт интересующий нас кандидат, если все кандидаты

имеют одинаковые шансы?

4. В течение месяца суд вынес 30 приговоров, в том числе 6 — за кражу. В порядке проку

рорского надзора проверено 10% дел. Какова вероятность того, что в их числе оказалось два

дела по обвинению в краже?

§ 3. Операции над событиями

В теории вероятностей изучаются методы вычисления вероятностей слу

чайных событий. Часто бывает так, что вероятность некоторого события A

можно найти, зная вероятности других событий, связанных с событием A.

Для этого используют понятия суммы и произведения событий.

История о находчивом майоре. В городе Дрюкове объявлен розыск

четверых особо опасных преступников, ограбивших Дрюковоуниверсалбанк.

Чтобы предотвратить утечку информации о ходе розыска, майор Зимин за

шифровал сообщения в Центр следующим образом: Р — обнаружен Рыков;

У — обнаружен Угрюмов; Ф — обнаружен Фомкин и Т — обнаружен Трош

кин. С помощью этих обозначений майор Зимин мог передать любую инфор

мацию. Например, сообщение Р + У означало, что обнаружен по крайней

мере один из двух преступников, Рыков или Угрюмов; сообщение УФ —

обнаружены Угрюмов и Фомкин; сообщение Т — Трошкин не обнаружен.

156 Глава VI. Понятие вероятности

Вскоре в Центр пришли следующие три сообщения: 1) У + Ф; 2) УТ;

3) Ф Р. Там их без труда расшифровали. Согласно первому сообщению,

обнаружен кто-то из двоих — Угрюмов или Фомкин, причём не исключе

но, что и оба. Второе сообщение означало, что обнаружены и Угрюмов, и

Трошкин. Из третьего сообщения следовало, что Фомкин и Рыков не об

наружены. Таким образом, на первом этапе розыска удалось обнаружить

двоих преступников.

Далее пришли шифровки: 4) УТ(Ф + Р); 5) УТФР; 6) УТФР. Первая

из них означала, что обнаружены Угрюмов, Трошкин и по крайней мере один

из двух других преступников. Вторая шифровка: обнаружены все, кроме

Рыкова. Третья: обнаружены все четверо.

Вы уже поняли, конечно, что в высшей школе милиции майор Зимин

изучал теорию вероятностей. Для шифровки донесений он использовал сле

дующие понятия этой теории.

Определение 3.1. Если в некоторой ситуации произошло по крайней мере

одно из двух событий A или B, то говорят, что произошло событие A + B.

Так вводится понятие суммы событий.

Например, событие Т + Р + Ф означает, что взят по меньшей мере один

из трёх преступников (Трошкин, Рыков, Фомкин).

Определение 3.2. Если произошли оба события, и A, и B, то говорят, что

произошло событие AB — так вводится произведение событий.

Например, событие РТФ состоит в том, что взяты трое — Рыков, Трош

кин и Фомкин.

Определение 3.3. Если событие A не произошло, то говорят, что произо

шло противоположное событие A.

Например, событие Т Ф означает, что не взяты ни Трошкин, ни Фомкин.

Пример 3.1. Стрелок произвёл два выстрела по цели. События A и B

означают попадание в цель при первом и втором выстрелах соответственно.

Что означают следующие события: а) AB; б) A + B; в) AB; г) AB; д) A B;

е) A + B; ж) AB; з) AB + AB?

Решение. а) По определению произведения событие AB состоит в том,

что произошли оба события, A и B. В нашем случае событие AB означает

попадание как при первом, так и при втором выстреле.

б) Событие A + B означает, что произошло хотя бы одно из событий A

и B, то есть по крайней мере одно попадание при двух выстрелах.

в) Поскольку событие B состоит в том, что не появилось событие B

(промах при втором выстреле), то произведение AB означает попадание при

первом выстреле и промах при втором.

г) Так же, как и выше, получаем, что произведение AB означает промах

при первом выстреле и попадание при втором.

д) Произведение A B означает промах при обоих выстрелах.