§ 6. Формула полной вероятности 163

Решение. Пусть события A и B означают, что спортсмен улучшает свой

личный рекорд соответственно в первой и во второй попытке. По условию

задачи P(A) = 0,5, P(B/A) = 0,5 и P(B/A) = 0,4.

а) Улучшение рекорда в каждой из двух попыток — это событие AB. По

теореме умножения получаем: P(AB) = P(A) · P(B/A) = 0,5 · 0,5 = 0,25.

б) Здесь нас интересует событие AB. Имеем: P(AB) = P(A) · P(B /A).

Первый множитель правой части формулы нам известен, а для вычисления

второго заметим, что свойство вероятностей противоположных событий, до

казанное в предыдущем параграфе, сохраняет силу и для условных вероят

ностей, то есть справедлива формула P(B /A) = 1 − P(B/A). Используя эту

формулу, получим P(B /A) = 1 − 0,5 = 0,5. Отсюда P(AB) = 0,5 · 0,5 = 0,25.

в) В этом случае ищем вероятность события AB. Применяя теорему,

получаем: P(AB) = P(A) · P(B/A) = 0,5 · 0,4 = 0,2.

г) Улучшение рекорда хотя бы в одной из двух попыток можно предста

вить в виде суммы AB + AB + AB. Слагаемые этой суммы попарно несов

местны, поэтому P(AB + AB + AB) = 0,25 + 0,25 + 0,2 = 0,7.

Упражнения

1. Управление УВД Стукова выделило 3 премии для сотрудников оперативных групп. В фу

ражку начальника положили 8 фантов с фамилиями всех восьми сотрудников. Какова веро

ятность того, что первую премию получит следователь Зубов, вторую — оперативник Проко

пенко, а третью — эксперт Зульфия?

2. В команде по плаванию университета города Дрюкова из 12 спортсменов 5 мастеров спор

та. Для участия в соревновании выбирают четверых. Какова вероятность того, что они все

окажутся мастерами спорта?

3. В милицейском колледже города Брюкова экзамены сдают так. Студент выбирает пять

вопросов и получает столько баллов, на сколько вопросов он правильно ответил. Студент

Громов знает 15 вопросов из 24. Какова вероятность того, что он получит пятерку?

4. Охотник выстрелил два раза по убегающему зайцу. Вероятность попадания при первом

выстреле равна 0,8. Если первый выстрел попал в цель, то вероятность второго попадания

равна 0,9; в случае промаха при первом выстреле вероятность попадания при втором равна 0,5.

Найдите вероятность того, что: а) охотник промахнётся оба раза; б) попадёт ровно один раз;

в) попадёт хотя бы один раз.

§ 6. Формула полной вероятности

Задача о наборе в полицейскую академию. В Дрюкове живёт физи

чески крепкий и умственно развитый народ, так что каждый третий выпуск

ник средней школы вполне может быть принят в полицейскую академию.

В академию принимают и жителей Брюкова, причём вероятность поступить

туда для выпускника брюковской школы равна 0,1. В приёмную комиссию

пришли 7 дрюковцев и 3 брюковца. Одного из них пригласили на собеседо

вание. Какова вероятность того, что он поступит в полицейскую академию?

164 Глава VI. Понятие вероятности

Решение. Пусть событие A состоит в том, что выбранный случайным об

разом молодой человек будет принят в академию. Нам нужно найти вероят

ность этого события. Пусть событие H1 состоит в том, что на собеседование

пригласили дрюковца, а событие H2 означает, что приглашен брюковец. Со

гласно условию P(H1) = 0,7 и P(H2) = 0,3. Вероятности поступления дрю

ковцев и брюковцев нам тоже известны: P(A/H1) = 1/3 и P(A/H2) = 0,1.

По теореме умножения вероятностей P(AH1) = P(A/H1) ·P(H1) = 1/3·0,7 =

= 7/30. Точно так же находим вероятность произведения AH2 : P(AH2) =

= 0,1 · 0,3 = 0,03. Нас интересует вероятность события A = AH1 + AH2 ,

означающего, что выбранный юноша (независимо от того, из какого он горо

да) принят в академию. Поскольку события AH1 и AH2 несовместны, то по

теореме сложения вероятностей получаем P(A) = P(AH1 +AH2) = P(AH1) +

+ P(AH2) = 7/30 + 3/100 = 79/300 ≈ 0,2633.

В ходе решения этой задачи мы доказали формулу

P(A) = P(A/H1) · P(H1) + P(A/H2) · P(H2), (9)

которая называется формулой полной вероятности.

Пример 6.1. В одной урне находятся 3 белых шара и один чёрный, а в

другой — 2 белых и 2 чёрных шара. Наугад выбирают одну урну и из неё

наудачу извлекают один шар. Какова вероятность извлечь белый шар?

Решение. Пусть событие A состоит в том, что извлечён белый шар. Это

событие может произойти совместно с одной из гипотез (событий): H1 —

выбрана первая урна и H2 — выбрана вторая урна. Вероятность выбрать ту

или иную урну равна 1/2: P(H1) = P(H2) = 1/2. Вероятность вынуть белый

шар из первой урны — это условная вероятность P(A/H1). По условию

задачи P(A/H1) = 3/4. Аналогично, вероятность извлечь шар белого цвета

из второй урны равна P(A/H2) = 2/4 = 1/2. По формуле (9) находим, что

P(A) = 3/4 · 1/2 + 1/2 · 1/2 = 5/8.

´

Формулу полной вероятности используют и при большем числе гипотез.

Например, если событие A может произойти лишь совместно с одной из

гипотез H1 , H2 , . . . , Hn и эти гипотезы попарно несовместны, то формула

полной вероятности запишется так:

P(A) = P(A/H1) · P(H1) + P(A/H2) · P(H2) + . . . + P(A/Hn) · P(Hn). (10)

Пример 6.2. В группе спортсменов имеется 20 лыжников, 6 велосипе

дистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму для

лыжника равна 0,9, для велосипедиста — 0,8, для бегуна — 0,75. Найдите

вероятность того, что выбранный наугад спортсмен выполнит квалификаци

онную норму.

Решение. Пусть событие A состоит в том, что выбранный наугад спортс

мен выполнит квалификационную норму. Событие A может произойти сов