§ 2. Классическое определение вероятности

В мире случайных явлений, несмотря на то, что они случайные, имеются

закономерности, которые изучают с помощью понятия вероятности. Ве

роятность представляет собой количественную характеристику возможно

сти наступления некоторого случайного события. Исторически сложились

различные подходы к определению вероятности. Классическое определение

вероятности сформировалось в XVII веке в результате анализа азартных

игр и основано на понятии равновозможности исходов испытания. Это

означает, что нет оснований предпочесть какой-либо из исходов другим.

Например, выпадение орла или решки при одном подбрасывании монеты

считают равновозможными исходами; 36 вариантов выбора игральной кар

ты из колоды в 36 листов — тоже.

Рассмотрим испытание, в результате которого может произойти собы

тие A. Каждый исход, при котором событие A происходит, называется бла

гоприятным событию A. Пусть, например, событие A состоит в выпадении

чётного числа очков при одном бросании игральной кости. Из шести равно

возможных исходов (от одного до шести очков) три исхода (2, 4, 6) являются

благоприятными событию A.

Определение 2.1. Вероятностью события A называется отношение чис

ла исходов, благоприятных событию A, к числу всех исходов испытания.

Например, вероятность появления чётного числа очков при одном бро

сании игральной кости равна 1/2, так как число всех исходов — шесть, а

число исходов, благоприятных событию A — три. Вероятность события A

обозначают P(A); число исходов, благоприятных событию A, — через m(A);

число всех исходов — через n. Тогда по определению

m(A)

P(A) = .

n

Ясно, что приведённое выше определение вероятности применимо толь

ко в том случае, когда число всех исходов испытания конечно, и все они

равновозможны.

Пример 2.1. В урне 10 красных и 8 синих шаров. Наугад вынимают один.

Какова вероятность того, что вынут шар красного цвета?

6

Ландскнехт — наёмный солдат эпохи позднего Средневековья.

§ 2. Классическое определение вероятности 151

Решение. Это испытание имеет 18 равновозможных исходов. Каждый ис

ход означает выбор одного шара. Пусть событие A означает выбор крас

ного шара. Число исходов, благоприятных событию A, равно десяти. Итак,

m(A) = 10, n = 18 и P(A) = 10/18 = 5/9.

Пример 2.2. Монету подбрасывают два раза. Найдите вероятность того,

что выпадут и орёл, и решка.

Решение. Обозначим событие, состоящее в выпадении орла, буквой О,

решки — буквой Р. Испытанием здесь является двукратное подбрасывание

монеты. Всего может быть 4 исхода: ОО, РР, ОР, РО, поэтому n = 4. Со

бытие A, состоящее в выпадении и орла, и решки, имеет два благоприятных

исхода: РО и ОР. Следовательно, m(A) = 2 и P(A) = 2/4 = 1/2.

Пример 2.3. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Их них 15 выигрыва

ют по 50000 рублей, 25 — по 10000 рублей, 60 — по 5000 рублей. Играю

щий приобрёл один билет. Какова вероятность выиграть не менее 10000 ру

блей?

Решение. Испытание состоит в выборе наугад одного билета из тысячи.

Поэтому число всех равновозможных исходов будет n = 1000. Пусть со

бытие A состоит в том, что участник лотереи приобрёл билет, который вы

игрывает либо 50000, либо 10000 рублей. Число всех таких билетов будет

m(A) = 40. Поэтому P(A) = 40/1000 = 0,04.

Предложение 2.1. Вероятность любого события заключена между

нулём и единицей.

Доказательство. Пусть n — число всех исходов испытания, в котором

может произойти событие A, и m(A) — число всех исходов, благоприятных

событию A. Число m(A), с одной стороны, неотрицательно и, с другой сто

роны, не превосходит числа всех исходов n: 0 m(A) n. Разделив на n,

m(A)

получим 0 1, то есть 0 P(A) 1.

n

Предложение 2.2. Вероятность достоверного события равна 1.

Доказательство. Достоверное событие Ω появляется при любом исходе

испытания, поэтому все исходы будут ему благоприятны. Следовательно,

m(Ω) n

m(Ω) = n. По определению вероятности P(Ω) = = = 1.

n n

Предложение 2.3. Вероятность невозможного события равна ну

лю.

Доказательство. Невозможное событие ∅ не имеет благоприятных исхо

0

дов, то есть m(∅) = 0, поэтому P(∅) = = 0.

n

Перечисленные свойства вероятности используют при решении задач.

Если при расчётах вероятность у вас получилась отрицательной или боль

шей единицы, то вы где-то ошиблись.

152 Глава VI. Понятие вероятности

При нахождении вероятности того или иного события важно правильно

определить число всех исходов и число благоприятных исходов. Может по

казаться, что это сделать просто. Тем не менее, решая задачу о подбрасыва

нии монеты, разобранную выше в примере 2.2, крупный учёный XVIII века

Д’Аламбер7 допустил ошибку. Вычисляя вероятность появления орла, он

рассуждал так. При двух бросаниях монеты орёл появится либо при пер

вом бросании, либо при втором, либо вовсе не появится. Всех случаев три,

из них благоприятствуют появлению орла два, следовательно, вероятность

появления орла равна 2/3. Но если вы помните, у нас получился ответ 1/2.

Подумайте, где же ошибка?

Понятие равновозможности исходов ещё сложнее, чем понятие несов

местности. Дело в том, что оно основано на нашей интуиции и является

в значительной степени субъективным. В примере 2.2 мы считали равно

возможными исходы ОР, РО, РР и ОО. Ясно, что при таком допущении

исходы Д’Аламбера равновозможными не будут. Однако Д’Аламбер до кон

ца жизни не признавал своё решение ошибочным. Какими аргументами он

руководствовался? Нам неясно.

Теперь, как было обещано ранее, рассмотрим задачу, поставленную

ландскнехтом: почему при игре в кости 11 очков выпадает чаще, чем 12?

При бросании трёх костей наименьшая сумма выпавших очков может

быть равна 1 + 1 + 1 = 3, а наибольшая — 6 + 6 + 6 = 18. Одиннадцать

очков может образоваться шестью способами:

11 = 1 + 5 + 5 = 1 + 4 + 6 = 2 + 3 + 6 = 2 + 4 + 5 = 3 + 3 + 5 = 3 + 4 + 4.

Двенадцать очков — также шестью способами:

12 = 1 + 5 + 6 = 2 + 4 + 6 = 2 + 5 + 5 = 3 + 4 + 5 = 3 + 3 + 6 = 4 + 4 + 4.

Поэтому, казалось бы, 11 и 12 очков должны выпадать одинаково ча

сто. Но богатый практический опыт ландскнехта показывал, что 11 очков

выпадает чаще, чем 12.

Галилей разъяснил ландскнехту, в чём его ошибка. При бросании трёх

костей исходом будет набор из трёх чисел. Но не все исходы, перечислен

ные ландскнехтом, являются равновозможными. Например, исход 4 + 4 + 4

получается только в том случае, когда на каждой кости выпадет четвёрка. А

исход 3+4+5 будет появляться в шесть раз чаще! В самом деле, поскольку

кости при бросании двигаются независимо друг от друга, то равносильны

варианты

3 + 4 + 5, 3 + 5 + 4, 4 + 3 + 5, 4 + 5 + 3, 5 + 3 + 4, 5 + 4 + 3.

Ландскнехт в своём рассуждении не различал кости, ему была важна

только сумма, а мы заметили, что, меняя в сумме порядок слагаемых, мы

7

Жан Лерон Д’Аламбер (1717–1783) — французский механик, математик и философ.

По образованию — юрист, по профессии — адвокат.