§ 7. Независимые события

Определение 7.1. События A и B называются независимыми, если ве

роятность каждого из них не зависит от того, произошло другое событие

или нет. Иными словами, события A и B независимы, если выполняются

следующие условия:

P(A/B) = P(A), P(B/A) = P(B). (12)

§ 7. Независимые события 167

Формулы (6) для вычисления вероятности произведения двух событий в

этом случае принимают более простой вид:

P(AB) = P(A) · P(B). (13)

Итак, мы получили следующую важную теорему, которую называют те

оремой умножения вероятностей независимых событий. Она справедлива

для любого числа независимых событий.

Теорема 7.1. Вероятность произведения независимых событий рав

на произведению вероятностей этих событий.

Пример 7.1. Монета брошена два раза. Найдите вероятность выпадения

двух орлов.

Решение. Пусть событие A состоит в выпадении орла при первом бро

сании, а событие B — при втором. Тогда произведение этих событий AB

означает выпадение двух орлов. Вероятность появления орла при каждом

бросании монеты равна 0,5: P(A) = P(B) = 0,5. Нам нужно найти вероят

ность P(AB). События A и B независимы, так как исход любого бросания

монеты не зависит от результатов других бросаний. Поэтому мы можем вос

пользоваться формулой (13): P(AB) = P(A) · P(B) = 0,5 · 0,5 = 0,25.

Независимость рассматриваемых событий обычно усматривается из опи

сания эксперимента, либо об этом явно объявляется в условии задачи.

Пример 7.2. Два стрелка независимо один от другого делают по одно

му выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность поражения мишени

первым стрелком равна 0,5, вторым — 0,6. Какова вероятность того, что

мишень будет поражена?

Решение 1. Пусть событие A состоит в том, что мишень поразил первый

стрелок, а событие B — в том, что мишень поразил второй стрелок. По

условию P(A) = 0,5 и P(B) = 0,6. Событие A + B означает, что в мишень

попал по крайней мере один из стрелков. По теореме сложения P(A + B) =

= P(A) +P(B) −P(AB), а по теореме умножения P(AB) = P(A) ·P(B), поэтому

P(A + B) = 0,5 + 0,6 − 0,5 · 0,6 = 0,8.

Очевидно, что из независимости событий A и B вытекает независимость

противоположных событий A и B. Это позволяет получить иное решение

только что рассмотренной задачи.

Решение 2. Пусть, как и выше, события A и B состоят в поражении цели

соответственно первым и вторым стрелком. Тогда событие A, противопо

ложное событию A, означает промах первого стрелка, событие B — промах

второго стрелка. Используя формулу (2) для вероятностей противополож

ных событий, получаем: P(A) = 1 − 0,5 = 0,5 и P(B) = 1 − 0,6 = 0,4.

Произведение событий A B означает промах обоих стрелков. По смыслу

задачи, события A и B являются независимыми, поэтому и противополож

ные события A и B также будут независимыми. Следовательно, мы можем

168 Глава VI. Понятие вероятности

воспользоваться формулой (2) и найти вероятность того, что оба стрелка

промахнутся: P(A · B) = P(A)P(B) = 0,5 · 0,4 = 0,2. Нас же интересует

вероятность противоположного события, состоящего в том, что мишень по

ражена. Поэтому искомая вероятность будет равна 1 − 0,2 = 0,8.

Пример 7.3. Найдите в условиях примера 7.2 вероятность того, что один

и только один из стрелков попадёт в мишень.

Решение. Нас интересует событие AB + AB: либо первый стрелок попал,

а второй промахнулся, либо наоборот. Имеем: P(AB) = P(A) · P(B) = 0,5 ·

· 0,4 = 0,2, P(AB) = P(A) · P(B) = 0,5 · 0,6 = 0,3. В силу несовместности

событий AB и AB получаем: P(AB+AB) = P(AB) +P(AB) = 0,2+0,3 = 0,5.

Понятие независимости вводят для любого количества событий. Именно,

события A1 , A2 , . . ., An называют независимыми, если вероятность каждо

го из них не зависит от того, произошли какие-то другие из этих событий

или нет. Теорема умножения вероятностей для n независимых событий за

писывается так:

P(A1 A2 . . . An) = P(A1) · P(A2) · . . . · P(An). (14)

Пример 7.4. Найдите вероятность выпадения восемнадцати очков при бро

сании трёх игральных костей.

Решение. Сумма 18 получается при выпадении на каждой из трёх костей

шести очков. Введём события A1 , A2 , A3 , состоящие соответственно в вы

падении 6 очков на первой, второй и третьей костях. По смыслу задачи

эти события независимы. Их произведение A1 A2 A3 и означает выпадение

суммы 18. По формуле (14) получим:

1 1 1 1

P(A1 A2 A3) = P(A1) · P(A2) · P(A3) = · · = ≈ 0,0046.

6 6 6 216

Пример 7.5. Как показывает практика, в среднем в трёх автомобилях из

каждой тысячи, проходящих таможенный досмотр, обнаруживают наркоти

ки. Какова вероятность того, что наркотики будут обнаружены хотя бы в

одной из пятисот проверенных машин?

Решение. Пусть событие A1 состоит в том, что в первом из проверенных

автомобилей обнаружен наркотик, A2 — во втором из проверенных авто

мобилей обнаружен наркотик, и т. д., наконец, событие A500 состоит в том,

что наркотик обнаружен в последнем из проверяемых автомобилей. Эти

события можно считать независимыми, и вероятность каждого из них по

условию равна 0,003. Рассмотрим событие B, состоящее в том, что нарко

тик не обнаружен ни в одном из проверенных автомобилей. Очевидно, что

B = A1 A2 · . . . · A500 .

События A1 , A2 , . . ., A500 независимы, и вероятность каждого из них

равна 1 − 0,003 = 0,997. Поэтому вероятность события B можно найти по