§ 5. Условные вероятности

Следующая история показывает, что иногда вероятность события зави

сит от того, произошло или не произошло некоторое другое событие.

Пример 5.1. Дрюковцы и брюковцы решили выбрать общее правитель

ство в составе мэра и вице-мэра. Согласно регламенту, каждый город вы

ставляет четырёх кандидатов. Каждому кандидату дают шар, на котором тот

записывает свою фамилию. Затем он опускает шар в урну. К урне подхо

дит победитель конкурса «Настоящий мужчина города Дрюково», наугад

вынимает один шар из урны и объявляет имя мэра. После этого то же са

мое проделывает победительница конкурса «Мисс Брюково» и объявляет

имя вице-мэра. Какова вероятность того, что 1) вице-мэром станет брюко

вец; 2) вице-мэром станет брюковец, если мэром тоже стал брюковец; 3)

вице-мэром станет брюковец, если мэром стал дрюковец?

Решение. Рассмотрим следующие события: событие A — вице-мэром из

бран брюковец; событие B — мэром избран брюковец; событие C — мэром

избран дрюковец. Чтобы ответить на первый вопрос, найдём число всех ис

ходов голосования и число благоприятных исходов. Так как мэр выбирается

из восьми кандидатов, а вице-мэр из оставшихся семи, то по правилу умно

жения число всех исходов (то есть упорядоченных пар кандидатов) равно

§ 5. Условные вероятности 161

8 · 7 = 56. Число благоприятных исходов будет 28, так как число брю

ковских и дрюковских кандидатов одинаково. Таким образом, вероятность

события A равна 1/2.

Ответим на второй вопрос. Поскольку мэром стал брюковец, то в числе

претендентов на должность вице-мэра осталось 4 дрюковца и 3 брюковца.

Поэтому вероятность того, что вице-мэром выберут брюковца, равна 3/7.

Последняя вероятность подсчитывается столь же просто. Если мэром

стал дрюковец, то в числе претендентов осталось 4 брюковца; и вероятность

того, что вице-мэром стал брюковец, равна 4/7.

Итак, мы получили три разные вероятности. Последние две из них на

зываются условными вероятностями. Во втором случае мы нашли веро

ятность события A при условии, что произошло событие B, в последнем

случае — вероятность события A при условии, что произошло событие C.

Определение 5.1. Условной вероятностью P(A/B) называют вероят

ность события A, найденную в предположении, что произошло событие B.

Вот как можно записать итоги выборов с использованием этого опреде

1 3 4

ления: P(A) = , P(A/B) = , P(A/C) = .

2 7 7

Пример 5.2. Из 36 карт выбирают одну. Событие A состоит в том, что

выбрана карта красной масти, событие B — выбрана дама. Найдите веро

ятности P(A), P(B), P(A/B), P(B/A).

Решение. Половина из 36 карт имеет красную масть, поэтому P(A) = 1/2,

и, так как в колоде 4 дамы, P(B) = 1/9. Число P(A/B) представляет собой

вероятность того, что вынутая дама имеет красную масть. Число всех дам

равно 4, из них две — красной масти, поэтому P(A/B) = 1/2. Таким же

образом найдём, что P(B/A) = 1/9 (среди 18 карт красной масти 2 дамы).

Теорема 5.1. Если вероятность события B отлична от нуля, то

справедлива формула

P(AB)

P(A/B) = . (5)

P(B)

Доказательство. Пусть испытание, в котором могут появиться события A

и B, имеет n исходов, из которых m(B) благоприятны событию B и m(AB)

благоприятны событию AB. Найдём вероятность события A при условии,

что произошло событие B, то есть P(A/B).

По смыслу определения условной вероятности P(A/B) мы учитываем

только те исходы, в которых произошло событие B, поэтому число всех

возможных исходов при вычислении этой вероятности будет m(B). Число

же исходов, благоприятных событию A, будет m(AB). Поэтому

m(AB) m(AB) m(B) P(AB)

P(A/B) = = : = ,

m(B) n n P(B)

что и требовалось доказать.

162 Глава VI. Понятие вероятности

Из формулы (5) вытекает

Следствие. Вероятность произведения двух событий равна произве

дению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

P(AB) = P(B) · P(A/B), P(AB) = P(A) · P(B/A). (6)

Пример 5.3. Из колоды карт последовательно выбирают две. Какова ве

роятность того, что будут вынуты 2 туза?

Решение. Пусть событие B состоит в том, что первая карта туз, а собы

тие A — вторая карта туз. Нужно найти вероятность произведения AB. По

1 3 1

формуле (6) P(AB) = P(B) · P(A/B) = · = .

9 35 105

Методом математической индукции формулу (6) можно распространить

на любое число событий. Например, для трёх событий аналогичная формула

выглядит следующим образом:

P(ABC) = P(A) · P(B/A) · P(C/AB), (7)

а для четырёх событий она имеет вид:

P(ABCD) = P(A) · P(B/A) · P(C/AB) · P(D/ABC). (8)

´

Формулы (6), (7), (8) и им аналогичные для большего числа событий

называются теоремами об умножении вероятностей.

Пример 5.4. Из одиннадцати карточек составлено слово

С Л Е Д О В А Т Е Л Ь.

Из них выбирают поочередно четыре карточки и приставляют одну к

другой. Какова вероятность того, что получится слово «ДЕЛО»?

Решение. Введём события Д, Е, Л, О, состоящие в том, что первая вы

бранная буква Д, вторая — Е, третья — Л и четвёртая — О. Нам нужно

найти вероятность произведения этих событий. По формуле (4) имеем:

1 2 2 1 1

P(ДЕЛО) = P(Д) · P(Е/Д) · P(Л/ДЕ) · P(О/ДЕЛ) = · · · = .

11 10 9 8 1980

Пример 5.5. Вероятность того, что спортсмен улучшит свой личный рекорд

с первой попытки, равна 0,5. Если первая попытка оказалась успешной, то

вероятность улучшить этот результат в следующей попытке остаётся той

же. В случае, если первая попытка оказалась безуспешной, вероятность

улучшить результат со второй попытки равна 0,4. Найдите вероятность того,

что спортсмен улучшит свой результат: а) в каждой из двух попыток; б)

только в первой попытке; в) только во второй попытке; г) хотя бы в одной

из двух попыток.