§ 7. Формула бинома Ньютона 145

1 3 2 4·3

Так как C4 = C4 = 4, C4 = = 6, то

2

(a + b) 4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b 2 + 4ab 3 + b 4 . (11)

Пример 7.2. Разложите по степеням x многочлены (x − 3) 4 и (x 2 + 1) 4 .

Решение. Подставив в формулу (11) a = x и b = −3, найдём:

(x − 3) 4 = x 4 + 4x 3 (−3) + 6x 2 (−3) 2 + 4x(−3) 3 + (−3) 4 =

= x 4 − 12x 3 + 54x 2 − 108x + 81.

Положив в формуле (11) a = x 2 и b = 1, получим:

4 3 2

(x 2 + 1) 4 = x 2 + 4 x2 + 6 x2 + 4x 2 + 1 = x 8 + 4x 6 + 6x 4 + 4x 2 + 1.

Вспомним задачу о сложных процентах (см. §8 первой главы).

Пример 7.3. Допустим, вы собираетесь положить S рублей под 5% го

довых и хотите прикинуть, сколько денег окажется на вашем счёте через

десять лет. Сумма вычисляется по известной формуле S · (1 + 0,05) 10 , но

ваш калькулятор сломался. Что делать?

Решение. Не расстраивайтесь, вам поможет формула бинома Ньютона.

Положив в формуле (9) a = 1, b = x, получим

(1 + x) n = 1 + Cn x + Cn x 2 + . . . + Cn x n .

1 2 n

(12)

Пусть число x значительно меньше единицы, например, 0,05. Тогда числа

x 2 , x 3 , x 4 и так далее будут ещё меньше: x 2 = 0,0025, x 3 = 0,000125,

x 4 = 0,00000625 и т. д. Поэтому слагаемыми, содержащими эти степени,

можно пренебречь, заменив формулу (12) приближённой:

(1 + x) n ≈ 1 + nx (13)

1

(мы учли, что Cn = n). Таким образом, через десять лет на вашем счёте будет

приблизительно S · (1 + 0,05 · 10) = 1,5S рублей, то есть вклад увеличится

примерно в полтора раза.

Пример 7.4. Найдите приближённое значение степени 0,972 .

Решение. Полагая в формуле (13) x = −0,03, получаем:

0,972 = (1 − 0,03) 2 ≈ 1 − 2 · 0,03 = 0,94.

Упражнения

1. Найдите приближённые значения степеней 1,0032 , 0,9843 , 1,065 .

146 Глава V. Комбинаторные задачи

2. Анкета по изучению общественного мнения содержит 10 вопросов, на каждый из которых

отвечающий даёт один из трёх ответов: «да», «нет», «не знаю». Найдите число всех различных

способов заполнения анкеты.

3. Разложите многочлен (x − 1) 5 по степеням x.

0 1 2 3 4 5

4. Найдите сумму C5 + C5 + C5 + C5 + C5 + C5 . Если у вас получилось 32, то подумайте, как

получить этот ответ, используя тождество 1+1=2?

5. Докажите формулу бинома Ньютона методом математической индукции.

Глава VI

применяются практически во всех областях

Понятие науки, в экономике, военном деле, технике,

медицине, юридической практике, криминали

вероятности стике и т. д. Эти методы базируются на по

нятиях случайного события и вероятно

сти. Решающий вклад в теорию вероятностей

Трудно найти такую сферу человеческой внесли такие замечательные математики, как

деятельности, в которой не использовались Ферма, Якоб Бернулли1 , Лаплас2 , Гаусс3 , Че

бы вероятностно-статистические методы. Они бышев, Колмогоров4 .