49. Спецификация регрессионной модели при наличии гетероскедастичности случайного возмущения.

Вторым условием Гаусса—Маркова для классической регрессионной модели является независимость дисперсии возмущения от номера (момента) наблюдений. Нарушение этого условия принято называть гетероскедастичностью.

При наличии гетероскедастичности количественные характеристики вектора возмущений будут такими:

• E{ԑ} = 0

• 

где , t = 1,..,n— значения дисперсии возмущений.

50. Причины гетероскедастичности случайного возмущения.

Причинами гетероскедастичности могут служить:

• Неоднородность исследуемых объектов (например, если исследуется зависимость спроса от дохода потребителя, то обнаруживается, что чем больше доход, тем больше индивидуальное значение спроса колеблется относительно ожидаемого значения)

• Характер наблюдений (например, временной ряд)

51. Последствия гетероскедастичности случайного возмущения.

В случае нарушения второй предпосылки Гаусса-Маркова метод наименьших квадратов обеспечивает несмещенные оценки параметров, но оценка дисперсии возмущений – смещена: E{ }= β, E{ ≠ , что приводит к неадекватным оценкам:

• автоковариационной матрицы оценок параметров: =

• границ доверительных интервалов параметров модели и значений зависимой переменной.

52. Алгоритм теста Голдфельда-Квандта на наличие (отсутствие) гетероскедастичности случайных возмущений.

1. Данные упорядочиваются по величине модуля регрессора |X_ti|, t = 1,..,n, вызывающего гетероскедастичность;

2. По первым m и последним m данным выборки оцениваются две частные регрессии и вектора остатков е₁ и е₂ соответственно, k < m < , k — число параметров модели, n – объем выборки;

3. По остаткам частных регрессий вычисляются необъясненные регрессией суммы квадратов отклонений:

ESS₁ = , ESS₂ = ;

4. Вычисляются статистики, обладающие F – распределением:

CQ =

CQ^-1 = ;

5. Определяется F_кр для уровня значимости

6. Проверяется выполнение неравенств:

CQ F_кр

CQ^-1 F_кр

Если не выполняется хотя бы одно из неравенств, то делается вывод о гетероскедастичности случайного возмущения.

53.Способы корректировки гетероскедастичности. Метод взвешенных наименьших квадратов.

Гетероскедастичность приводит к неэффективности оценок несмотря на их несмещенность. Это может привести к необоснованным выводам по качеству модели. Поэтому при установлении гетероскедастичности возникает необходимость преобразования модели с целью устранения данного недостатка. Вид преобразования зависит от того, известны или нет дисперсии отклонений случайных возмущений. Если такие дисперсии известны, применяется метод взвешенных наименьших квадратов (МВНК).

Опишем метод ВНК на примере парной регрессии:

Разделим обе части на известное СКО:

Перейдем к новым переменным:

При этом для v_i выполняется условие гомоскедастичности:

Так как по первой предпосылки МНК , то

То есть выполняются все предпосылки МНК, то есть все полученные оценки будут наилучшими линейными несмещенными оценками.