25. Нецентрированный коэффициент детерминации регрессионной модели.

Коэффициент детерминации показывает долю дисперсии результативного признака x, объясняемую регрессией, в общей дисперсии y. Иными словами, долю влияния фактора на изменение результативного показателя.

Например, коэффициент детерминации равен 0,78. Это значит, что изменения результативного показателя на 78% объясняются изменениями уравнения регрессии или модель среднего качества.

Коэффициентом детерминации называется статистика, определяемая по формуле (справедливо только в случае включения свободный член):

,R-2.=1-,ESS-TSS.=1-,,e-T.e-,y-T.y.=,RSS-TSS.=,,,y.-T.,y.-,y-T.y., 0≤,R-2.≤1 (1)

где:

– необъясненная регрессией (остаточная) сумма квадратов отклонений (error sum of squares);

= ‑ объясненная регрессией сумма квадратов отклонений (regression sum of squares);

= ‑ общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от ее среднего выборочного значения (total sum of squares).

Из формулы (1) следуют два масштабирующих значения для коэффициента детерминации:

•,R-2.=0, при RSS=,--,(,,Y.-t.-,Y.)-2.=0. в этом случае регрессор X не улучшает качество оценки (прогноза) , по сравнению с обычной оценкой (прогнозом) ;

• ,R-2.=1, при ,R-2.=1, в этом случае все точки наблюдения лежат на регрессионной прямой (т. е. , или ,e-t.=0).

Таким образом, чем ближе значение коэффициента детерминации к 1, тем лучше качество подгонки (аппроксимация облака наблюдений линейной функцией) и оценка более точно аппроксимирует наблюдения .

27. F-тест качества спецификации парной линейной регрессионной модели

F-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_выч и критического (табличного) F_крит значений F-критерия Фишера. F_выч определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы.

Коэффициент детерминации является случайной величиной (так как вычисляется по выборочным данным), и для оценки его статистической значимости, в соответствии со стандартной процедурой, следовало бы сравнить его вычисленное значение с табличным (критическим). Однако таблиц распределения коэффициента детерминации не существует, поэтому для проверки статистической гипотезы о значимости R² используется косвенный метод: вычисляется некоторая вспомогательная статистика с известным распределением; проверяется гипотеза ее статистической значимости; устанавливается взаимосвязь между вспомогательной статисткой и коэффициентом детерминации; на основании этой взаимосвязи делается вывод о статистической значимости коэффициента детерминации. Для составления вспомогательной статистики рассмотрим две случайные величины U и V. Статистика U имеет распределение х² (хи-квадрат)

(1)

так как случайная величина , как было показано выше, имеет стандартное нормальное распределение, а ее квадрат можно рассматривать как сумму квадратов стандартных нормальных величин, включающую только одно слагаемое.

В качестве второй вспомогательной статистики, имеющей распределение х² с параметром, равным числу степеней свободы n - 2, используется статистика вида:

(2)

Статистика F, как легко проверить, совпадает с квадратом f-статистики для параметра b:

=

и имеет распределение Фишера с параметрами v₁=1,v₂=n-2 (n— объем выборки):

(3)

Для проверки гипотезы Н₀:b = 0 статистика (3) принимает вид:

.

Связь между статистиками F и R²для случая парной регрессии (k=2) имеет вид:

F= (4)

Справедливость (4) проверяется непосредственно:

(5)

Таким образом, как следует из формулы (5), F = 0 в том случае, если R²=0. Поэтому, проверяя значимость F статистики (сравнивая ее вычисленное по выборочным данным значение с табличным), мы можем проверить статистическую значимость коэффициента детерминации. ЕслиF_выч<F_кр, то принимается нулевая гипотеза H₀:b = 0 и, следовательно, коэффициент детерминации незначим, в противном случае нулевая гипотеза отвергается и коэффициент детерминации признается статистически значимым.