7. Матрицы и действия над ними: сложение, умножение, транспонирование, элементарные преобразования строк.

Таблица чисел а_ik вида: , (1) состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей размера m × n. Числа а_ik называются её элементами. Если m  n, то матрица называется прямоугольной. Если же m = n, то матрица называется квадратной. В частности, если m = 1, n > 1, то матрица (а₁₁ а₁₂ … а_1n) называется матрицей-строкой. Если же m > 1, n = 1, то матрица называется матрицей-столбцом.

Число строк в квадратной матрице называют порядком такой матрицы. Матрица - квадратная матрица второго порядка, а матрица - квадратная матрица третьего порядка.

Матрицы обозн-я большими латинскими буквами. Две матрицы A и B называются равными (А = В), если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны. Так, если А = , В = и а₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁, a₂₂ = b₂₂, то А = В.

Квадратная матрица порядка n вида называется единичной матрицей и обозначается E_n.

Складывать и вычитать можно только матрицы одинакового размера.

Суммой двух матриц А и В размера m × n называется матрица С размера m × n, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Обозначается : А + В = С.

Опред-е: Матрица О размера m × n, элементы которой все равны нулю, называется нулевой матрицей.

Разностью двух матриц А и В размера m × n называется матрица С размера m × n такая, что А = В + С. Обозначается : А – В = С. Из определения следует, что элементы матрицы С равны разности соответствующих элементов матриц А и В.

Свойства сложения матриц:

1) Сложение матриц коммутативно, т.е. А + В = В + А для любых матриц А и В размера m × n.

2) Сложение матриц ассоциативно, т.е. (А + В) + С = А + ( В + С) для любых матриц А, В, С одинакового размера.

3) А + О = О + А = А для любой матрицы А размера, совпадающей с размером нулевой матрицы О.

Произведением матрицы А на число α называется матрица αА, элементы которой равны произведению числа α на соответствующие элементы матрицы А.

Произведением матрицы А размерности m × n и матрицы В размерности n × k, элементы которой с_ij вычисляются как сумма произведений соответствующих элементов а_il I – й строки матрицы А и элементов b_lj j – го столбца матрицы В, т.е. c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_inb_nj, I = 1,2, …, m; j = 1,2, …, k.

Свойства умножения матриц

1) Умножение матриц некоммутативно, т.е. AB  BA.

2) Умножение матриц ассоциативно, т.е. A(BC) = (AB)C, если такие произведения существуют.

3) Если A ─ матрица размера m×n, B ─ матрица размера n×k, то AE_n=A, E_nB=B.

Если в матрице А = сделать все строки столбцами с тем же номером, то получим матрицу А^t = которую называют транспонированной к матрице А.

Свойства транспонирования матриц.

1) (A^t)^t = A;

2) (A + B)^t = A^t + B^t;

3) (AB)^t = B^tA^t

4)( A) ^t = A^t

Элементарными преобразованиями строк матрицы называют след-ие преобразования:

1) умножение строки матрицы на ненулевое действительное число;

2) прибавление к одной строке матрицы другой её строки, умноженной на произвольное действительное число.

Лемма1: С помощью элементарных преобразований строк матрицы можно поменять местами любые две строки.

Доказ-о.

А= . .

7.6. Ступенчатой называют матрицу, которая обладает следующими свойствами:

1) если i-я строка нулевая, то (i + 1)-я строка также нулевая,

2) если первые ненулевые элементы i-й и (i + 1)-й строк расположены в столбцах с номерами k и , соответственно, то k < .

Условие 2) требует обязательного увеличения нулей слева при переходе от i-й строки к (i+ 1)-й строке.

Рангом матрицы называют число ненулевых строк в ступенчатом виде этой матрицы.