17. Функция. Предел функции. Односторонние пределы. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

Понятие функции ─ одно из основных понятий современной математики.

Рассмотрим множество X элементов х и множество Y элементов y. Если каждому элементу хΧ поставлен в соответствие единственный элемент уΥ, обозначаемый у = f(x), то говорят, что на множестве Х задана функция у = f(x) со значениями в множестве Y. Элементы хΧ наз-я значениями аргумента, а элементы уΥ ─ значениями функции. Множество Х называется областью определения функции, множество всех значений функции ─ областью значений этой функции.

Употребляются следующие обозначения функции: у = f(x), y = F(x), y = Ф(х), у = φ(х) и т.п. Значение, которое функция у = f(x) принимает при х = а, обозначается f(a).

К традиционным способам задания функции относятся: аналитический, графический и табличный.

Аналитический─ задание функции с помощью формул.

Функция заданная формулой у = f(x), правая часть которой не содержит у, называется явной функцией, а если содержит у наз-я неявной.

Табличный ─ задание ф-ции при помощи таблицы. (примеры: таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д.)

Графический─ задание ф-ции при помощи графика. Графиком функции у = f(x) наз-я множество точек (x;f(x)) плоскости хОу, где х принадлежит области определения функции. Преимуществом графического способа задания функции является его наглядность.

Кроме тригонометрических и обратных тригонометрических функций изучаются ф-ции: степенная у = х^а (а = const), показательная у = а^х (а = const), логарифмическая у = log_ax (a = const). Все эти функции наз-я основными элементарными функциями. Элементарными функциями наз-я ф-ции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью алгебраических действий и образования сложных функций.

Рассмотрим функцию у = f(x), определённую в некотором интервале, содержащем точку х = а.

Число А наз-я пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к a (или в точке а), если для любого числа >0 существует такое >0, что при всех х, удовлетворяющих условию: 0 < │х − а│<  (1), выполняется неравенство:│f(x) − A│< . (2)

Обозначения предела функции f(x) при х, стремящемся к а: f(x) = A;f(x) → A при х → а.

Выясним геометрический смысл этого определения, воспользовавшись, графиком функции у = f(x) (рис.12.1). Неравенство (1) означает, что х отстоит от точки а не далее, чем на , т.е. принадлежит интервалу (а − ; а + ). Неравенство (2) означает, что значения функции у = а(ч) не выходят из интервала (А − ; А + ) оси Оу. След-о, точки М графика функции у = f(x) должны находится в полоске шириной 2, ограниченной прямыми у = А − , у = А +  для всех значений х, удалённых от точки а не далее, чем на .

Число А наз-я правым (левым) пределом функции f(x) в точке а, если для любого  > 0 существует  > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам а < x < a +  (a − < x < a), выполняется неравенство │f(x) − A│< . Обозначение f(x) = A ( f(x) = A).

Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.

Теорема:Ф-ция у = f(x) имеет в точке а предел тогда, когда в этой точке существует как левый, так и правый предел и они равны. В этом случае предел ф-ции равен односторонним пределам.

Доказ-о: 1) Пусть f(x) = f(x) = A. Тогда по определению односторонних пределов, для любого >0 существуют числа ₁>0 и ₂>0 такие, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам а<x<a+₁, a−₂< x < a, выполняется неравенство │f(x)−A│<. Возьмём  = min{₁,₂}. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенствам а−<x<a+(или 0<│х−а│<) выполняется неравенство │f(x)−A│<. Это означает, что f(x) = A.

2) Пусть теперь f(x) = A. Тогда по определению, для любого >0 существует число >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам 0 <│х − а│< , выполняется неравенство │f(x)−A│<. След-о, для >0 существует >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам а<x <a+, (или a− < x <a), выполняется неравенство │f(x)−A│<. Это означает, что существует односторонние пределы f(x) и f(x), причём оба они равны числу А.

Ф-ция  = (х) наз-я бесконечно малой при х→а (или при х→), если (х) = 0 ( (х) = 0).

Св-а бесконечно малых функций.

1) Если функция у = у(х) имеет предел А при х→а, то у(х) = А + (х), где (х) ─ бесконечно малая функция при х→а.

2) Если функция у(х) = А + (х), где А ─ число, (х) ─ бесконечно малая функция при х→а, то у(х) = А.

3) Сумма конечного числа бесконечно малых функций при х→а есть бесконечно малая функция при х→а.

4) Произведение двух бесконечно малых функций при х→а есть бесконечно малая функция при х→а.

5) Произведение бесконечно малой функции при х→а на ограниченную функцию, есть бесконечно малая функция при х→а.

6) Произведение бесконечно малой функции при х→а на постоянную функцию, есть бесконечно малая функция при х→а.

Ф-ция у = f(x) наз-я бесконечно большой при х→а, если для любого положительного числа N можно найти такое число >0, что при всех х, удовлетворяющих условию 0 <│х−а│< , выполняется неравенство │f(x)│> N.

Бесконечно большая функция не имеет предела при х→а, но иногда условно говорят, что её предел равен бесконечности и пишут f(x) =  или f(x)→ при х→а. Если f(x) стремится к бесконечности, принимая только положительные или только отрицательные значения, то соответственно пишут f(x) = +, f(x) = −.

18. Основные теоремы о пределах функций. Замечательные пределы. Теорема 1. Функция у = у(х) не может иметь более одного предела при х→ .

Доказ-о: Пусть функция у = у(х) при х→ имеет два предела А₁≠А₂. По св-ам бесконечно малых ф-ций у(х)=А₁ + ₁(х) и у(х)=А₂+₂(х), где ₁(х), ₂(х) ─ б.м.ф. при х→ . Тогда А₁ + ₁(х) = А₂ + ₂(х) или А₁ – А₂ = ₁(х) – ₂(х). Но последнее равенство невозможно, т.к. в левой части стоит постоянная, отличная от нуля, а в правой ─ бесконечно малая функция.

Теорема 2. Если каждая из функций у = у(х), z = z(x) имеет предел при х→ , то сумма, разность, произведение этих функций также имеют пределы, причём

1) (у(х)  z(x)) = y(x)  z(x);

2) (y(x)  z(x)) = y(x)  z(x), если кроме того, z(x) ≠ 0, то частное имеет предел, причём

3) = .

Доказ-о: Пусть y(x) = А, z(x) = В. Тогда по св-ам бесконечно малых ф-ций. у(х)=А + (х), z(x) = B + (x), где (х), (х) ─ б.м.ф. при х→ . Получаем: 1) у(х)  z(x) = (А  В) + ((х)  (х)). По свойствам б.м.ф. (х)  (х) ─ б.м.ф., поэтому (у(х)  z(x)) = А  В, т.е. (у(х)  z(x)) = y(x)  z(x).

2) y(x)  z(x) = (А + B + (x) = АВ + (х) B + А (x) + (х)(x). По свойствам б.м.ф. функция (х) B + А (x) + (х)(x) ─ б.м.ф. при х→ .

Поэтому (y(x)  z(x)) = АВ = y(x)  z(x).

3) Пусть В≠0. Рассмотрим разность

− .

По свойствам б.м.ф. функция ─ б.м.ф. при х→ .

Рассмотрим функцию = .

Очевидно, что = .

Это означает, что для , равного, например, найдутся х, расположенные вокруг такие, что │ − │< , т.е.

− < − < , < < .

Но это означает, что функция ограничена. Тогда по свойствам б.м.ф. произведение

─ б.м.ф. при х→ .

Обозначим её ₁(х), т.е. = ₁(х). Тогда + ₁(х). По свойствам б.м.ф. = = .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак прела.

Следствие 2. Если у(х) = А, то (у(х))^m = ( у(х))^m = A^m.

Теорема 3. Пусть три функции u = u(x), v = v(x), y = y(x) определены в некотором промежутке, содержащем точку . Если для любого х из этого промежутка выполняется неравенства

u(x)  y(x)  v(x)

и функции u = u(x), v = v(x) имеют одинаковые пределы при х→ , то функция у = у(х) имеет тот же предел при х→ .

Доказ-о: Пусть u(x) = v(x) = A.

Т.к. u(x)  y(x)  v(x), то u(x)−А  y(x)−А  v(x)−А.

По определению предела функции >0 существуют ₁>0 и ₂>0 такие, что из неравенств 0<│х − │<₁ следует │u(x)−A│<, а из неравенств 0<│х − │<₂ следует │v(x)−A│<. Обозначим  = min{₁,₂}. Тогда для х, удовлетворяющих неравенствам 0<│х − │< следует − < u(x)−A <  и − < v(x)−A < . Поэтому из неравенств u(x)−А  y(x)−А  v(x)−А следует − < у(x)−A < , т.е. │у(x)−A│<. Это означает, что у(х) = А.

Теорема 4. Пусть функция у = f(x) определена в некотором промежутке, содержащем точку . Если при х→ функция у = f(x) имеет положительный (отрицательный) предел, то найдётся такой промежуток вокруг точки , что для всех х из этого промежутка функция положительна (отрицательна).

Доказ-о: Пусть f(x) = А. Это означает, что >0 можно указать такое число >0, что при всех х, удовлетворяющих условию 0<│х− │<, выполняется

Неравенство │f(x)−A│<, т.е. − < f(x)−A < .

Если А>0, то взяв  = А из неравенства A−  <f(x) получим f(x)>A−= =A− A = A>0, т.е. f(x)>0 при −<x− <, т.е. при −<x<+ .

Если А<0, то взяв  = − А, из неравенства f(x)< A+ получим f(x)< A+ = =A− A = A<0, т.е. f(x)<0 при −<x<+ .

Эта теорема называется теоремой о сохранении знака функции, имеющей предел.

Теорема 5. Если функции u(x), v(x) определены в некотором промежутке, содержащем точку , и для всех х из этого промежутка, кроме х= , выполняется неравенство u(x)<v(x), причём функции u(x) и v(x) имеют пределы при х→ . Тогда u(x)  v(x).

Доказ-о: Пусть u(x) = А, v(x) = В. Положим, что А>B. По теореме2 (u(x)−v(x)) = А−В>0. По теореме 4 найдётся промежуток вокруг точки такой, что для всех х из этого промежутка u(x)−v(x)>0, т.е. u(x)>v(x), что противоречит условию.

Отношение двух ф-ций f(x)g(x) есть неопределённость вида (или ) при х→ , если числитель и знаменатель дроби ─ бесконечно малые функции (бесконечно большие функции) при х→ . В этом случае о пределе отношения f(x)g(x) при х→ ничего определённого сказать нельзя: он может быть равен нулю, бесконечности, числу, отличному от нуля, а может и вовсе не существовать. Раскрыть эти неопределённости ─ значит вычислить предел отношения f(x)g(x), если он существует, или доказать, что он не существует. Для раскрытия неопределённостей применяют различные методы.