12. Плоскость в пространстве. Уравнение плоскости по нормальному вектору и точке. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости по трём точкам. Взаимное расположение двух плоскостей.

Уравнением поверхности в заданной системе координат в пространстве наз-я такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки данной поверхности и только они.

Поверхность, определяемая алгебраическим уравнением n-й степени относительно декартовых координат, называется поверхностью n-го порядка.

Пусть дана точка М₀(х₀;у₀;z₀) и ненулевой вектор = (А,В,С). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ перпендикулярно указанному вектору (Рис.10.1). В таком случае вектор называют нормальным вектором плоскости.

Пусть М(х;у;z) ─ произвольная точка плоскости. Так как вектор = (х-х₀;у-у₀;z-z₀) лежит на плоскости, то он перпендикулярен вектору . След-о, их скалярное произведение равно нулю, т.е.

= 0. Тогда А(х - х₀) + В(у - у₀) + С(z - z₀) = 0 (1) искомое уравнение по нрмальному вектору и точке.

12.2. Раскроем скобки в уравнении А(х - х₀) + В(у - у₀) + С(z - z₀) = 0:

А(х - х₀) + В(у - у₀) + С(z - z₀) = 0

Ах + Ву +Сz + (- Ах₀ – Ву₀ – Сz₀) = 0

Обозначим через D = - Ах₀ – Ву₀ – Сz_0. Получаем уравнение Ах + Ву +Сz + D = 0, (2), которое называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи:

1)D = 0. Уравнение Ах + Ву +Сz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.

2)С = 0. В этом случае нормальный вектор (А;В;0) перпендикулярен оси Оz. Поэтому плоскость Ах + Ву + D = 0 параллельна оси Оz.

3)С = 0, D = 0. С учётом п.1) и п.2) плоскость Ах +Ву = 0 проходит через ось Oz.

4)В = 0, С = 0. В этом случае нормальный вектор (А;0;0) перпендикулярен плоскости Oyz. Поэтому плоскость Ах + D = 0 параллельно оси Oyz.

5)В = 0, С = 0, D = 0. Плоскость Ах = 0 или х = 0 определяет координатную плоскость Oyz.

Аналогично рассматриваются всевозможные другие случаи.

Пусть даны три точки пространства М₁(х₁;у₁;z₁), М₂(х₂;у₂;z₂), M₃(x₃;y₃;z₃), не лежащие на одной прямой. Пусть М(х;у;z) ─ произвольная точка этой плоскости

(х – х₀;у – у₀;z – z₀), (х₂ – х₁;у₂ – у₁;z₂ – z₁), (х₃ – х₁;у₃ – у₁;z₃ – z₁) компланарны. Поэтому их смешанное произведение равно нулю:

= 0.

След-о, уравнение плоскости по трем точкам:

= 0.

Пусть даны две плоскости:

А₁х + В₁у +С₁z + D₁ = 0,

А₂х + В₂у +С₂z + D₂ = 0.

Первая плоскость имеет нормальный вектор (А₁;В₁;С₁), вторая плоскость (А₂;В₂;С₂). Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны, т.е. = для некоторого числа . Поэтому

─ условие параллельности плоскости.

, условие совпадения плоскостей.

Так как в этом случае умножая второе уравнение на  = , получим первое уравнение.

Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности, если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и векторы , . Поэтому их скалярное произведение равно 0, т.е. = 0, или А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0.

Это необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.

Угол между двумя плоскостями А₁х + В₁у +С₁z + D₁ = 0, А₂х + В₂у +С₂z + D₂ = 0 - это угол между их нормальными векторами и , поэтому cos= = .