16. Понятие линейного пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Размерность и базис линейного пространства.

Рассмотрим непустое множество V и множество действительных чисел R. Определим операцию сложения элементов множества V (её называют внутренней операцией): любой упорядоченной паре элементов х,у  V поставим в соответствие третий элемент z  V, называемый их суммой; будем писать в этом случае z = x + y. Введём также операцию умножения элементов множества V на действительные числа (эту операцию называют внешней): каждому элементу х  V и действительному числу  R поставим в соответствие элемент z = x = x  V. Потребуем, чтобы операция сложения элементов множества V и операция умножения элементов V на действительные числа удовлетворяли следующим аксиомам:

1) Сложение коммутативно, т.е. х + у = у + х для любых х, у V.

2) Сложение ассоциативно, т.е. х + (у + z) = (x + y) + z для любых х, у, z V.

3) В V существует нулевой элемент, обозначим этот элемент символом О. Это такой элемент, который в сумме с любым элементом хV даёт тот же элемент х, т.е.

х + О = О + х = х.

4) Для каждого элемента хV существует противоположный элемент, т.е. такой элемент, который в сумме с данным даёт нулевой элемент; элемент, противоположный элементу х обозначим (-х), тогда х + (-х) = 0 для любого хV.

5) Для любого хV и числа 1R верно равенство 1 х = х .

6) Для любых х, уV, ,R верны равенства:

6.1) (х) = ()х,

6.2) (х + у) = х + у,

6.3) ( + )х = х + х.

Непустое множество V, в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие аксиомам 1) – 6), называется действительным линейным пространством или действительным векторным пространством. Элементы такого пространства называют векторами.

Из определения действительного линейного пространства нетрудно получить следующие его простейшие свойства:

1). В линейном пространстве имеется единственный нулевой элемент:

2). Для любого элемента хV существует единственный противоположный элемент (-х).

3). Для любого элемента хV произведение Ох = О₁, где слева ОR, а справа О₁V.

4). Для любого элемента хV (-1)х = -х, где –х ─ противоположный элемент для х.

5). Для любого числа R произведение О₁ = О₁, где О₁ ─ нулевой элемент V.

6). Если х = О₁ и 0, то х = О₁.

7). Если х = 0 и х0, то  = 0.

Рассмотрим векторы х₁,х₂,…,х_n линейного пространства V. Вектор у=₁х₁+ ₂х₂ + …+_nх_n, где ₁,₂,…, _n R, называется линейной комбинацией векторов х₁,х₂,…,х_n, а числа ₁,₂,…, _n ─ коэффициентами этой линейной комбинацией. Система векторов х₁,х₂,…,х_n называется линейно независимой, если равенство: ₁х₁ + ₂х₂ + …+ _nх_n = 0 выполняется только при ₁ = ₂ = … = _n = 0. Если же существуют числа ₁,₂,…, _n не все равные нулю, при которых выполняется равенство (1), то векторы х₁,х₂,…,х_n называются линейно зависимыми.

Из определения нетрудно получить следующие свойства:

1) Всякая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

2) Система из одного нулевого вектора линейно независима.

3) Если k из n векторов линейно зависимы, то и вся система из n векторов линейно зависима.

4) Если из системы х₁,х₂,…,х_n линейно независимых векторов отбросить  векторов (<n), то оставшиеся векторы также будут линейно независимы.

5) Если в системе векторов имеются векторы х_i и х_j такие, что х_i = x_j для R, то вся система векторов линейно зависима.

Теорема 1. Векторы х₁,х₂,…,х_n действительного линейного пространства линейно зависимы тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией всех остальных.

Доказ-о: Пусть векторы х₁,х₂,…,х_n линейно зависимы. Тогда существуют числа ₁,₂,…, _n не все равные нулю такие, что ₁х₁ + ₂х₂ + …+ _nх_n = 0 .

Пусть, например, _k  0. Тогда _kx_k = - ₁x₁ - … - _k-1x_k-1 - _k+1x_k+1 - … - _nx_n и

x_k = - x₁ - … - x_k-1 - x_k+1 - … - x_n, т.е. х_k ─ линейная комбинация всех остальных векторов.

Пусть теперь один их векторов, например х₁, является линейной комбинацией остальных векторов, т.е. х₁ = ₂х₂ + ₃х₃ + …+ _nх_n. Тогда (-1)х₁ + ₂х₂ + …+ _nх_n = 0. Это означает, что векторы х₁,х₂,…,х_n линейно зависимы.

Число n наз-я размерностью линейного пространства V, если выполняются следующие условия:

1) в V существует n линейно независимых векторов;

2) любая система n + 1 векторов из V линейно зависима.

Размерность линейного пространства V обозначают dimV = n, то V называют n-мерным линейным пространством. Если пространство состоит из одного нулевого элемента, то его размерность считают равной нулю. Итак, размерность линейного пространства ─ это наибольшее возможное количество линейно независимых элементов в нём.

Базисом n-мерного линейного пространства V называется любая упорядоченная система n линейно независимых векторов этого пространства.

Пример базисов линейных пространств.

1)Базисом действительного пространства R³ явл-я любая тройка некомпланарных векторов. Базис действительного линейного пространства R² ─ любые два неколлинеарных вектора.