9. Системы линейных уравнений. Критерий совместности. Метол Гаусса. Правило Крамера. Матричный метод.

Совокупность уравнений вида

Наз-я системой m линейных уравнений с n неизвестными х_1, х_2,…, х_n. Числа a_ij наз-я коэффициентами системы, а числа b_i ─ свободными членами.

Решением системы наз-я совокупность чисел с₁, с₂,…, с_n, при подстановке которых в систему вместо х₁, х₂,…,х_n, получаем верные числовые равенства. Решить систему ─ значит найти все её решения или доказать, что их нет. Система наз-я совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений нет. Матрица, составленная из коэффициентов системы

А = - наз-я матрицей системы. Если к матрице системы добавить столбец свободных членов, то получим матрицу:

В = ,которую называют расширенной матрицей системы.

Если обозначим:

Х = , С = , то систему можно записать в виде матричного уравнения АХ=С.

Критерий совместности системы линейных уравнений даёт теорема Кронекера-Капелли.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.

Метод Гаусса применяется для произвольной системы линейных уравнений.

Опред-е: Система линейных уравнений наз-я ступенчатой, если матрица этой системы ступенчатая.

При решении системы линейных уравнений прим-я след-ий алгоритм:

1. Записываем расширенную матрицу системы (1) и приводим её к ступенчатому виду,

определяем ранги матрицы и расширенной матрицы системы.

2. Если найденные ранги не равны, то система несовместна.

3. Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и равен числу r. В

этом случае система совместна и надо найти её решение.

4. Используя ступенчатый вид расширенной матрицы системы, записываем соответствующую ступенчатую систему.

5. Если число r равно числу неизвестных n, то ступенчатая система имеет вид

(2)

Из системы (2) послед-о находим значения для х₁, х₂,…, х_т, начиная с последнего уравнения. В этом случае система (1) имеет единственное решение.

6. Если число r меньше числа неизвестных, то ступенчатая система имеет вид

(3)

В системе (3) r уравнений и n неизвестных. Неизвестные х₁,…,х_j1, которые первыми встречаются в уравнениях системы (3), наз-я главными неизвестными, остальные ─ свободными неизвестными. Из системы (3) послед-о выраж-я главные неизвестные через свободные, начиная с последнего уравнения. Свободные неизвестные могут принимать любые значения. В этом случае система имеет бесконечно много решений.

Система линейных уравнений наз-я крамеровской, если тело уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы отличен от нуля.

Теорема: Крамеровская система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

, где ─ определитель матрицы системы, ─ определитель, полученный из , заменой столбца коэффициентов при на столбец свободных членов.

Доказ-о: Пусть дана крамеровская система:

(4) .Тогда │А│= ∆ =  0.

По теореме матрица системы А имеет обратную матрицу А^-1. Запишем крамеровскую систему (4) в матричном виде: АХ = В; (5), где

А = , Х = , В = .

Умножим обе части матричного уравнения (5) слева на А^-1:

А^-1(АХ) = А^-1В, Ввиду ассоциативности умножения матриц имеем А^-1(АХ) = (А^-1А)Х = Е_ТХ = Х.

Таким образом, Х = А^-1В ─ решение системы.

1) Решение единственно. Предположим, что Х₁ и Х₂ ─ два решения матричного уравнения (5). Тогда АХ₁ = В и АХ₂ = В, откуда АХ₁ = АХ₂. Умножая обе чисти равенства на А^-1 слева, имеем А^-1(АХ₁) = А^-1(АХ₂),

(А^-1А)Х₁ = (А^-1А)Х₂, Е_nХ₁ = Е_nХ₂, Х₁ = Х₂.

След-о, система (4) имеет единственное решение:

2) Решение системы (4). Из равенства Х = А^-1В имеем:

= , откуда

,

,

.

Обозначая определители в правой части равенств соответственно, получим формулы .

Этот метод применяется для решения крамеровских систем. Основан он на равенстве Х = А^-1В, которое получилось при доказательстве теоремы, когда крамеровская система имеет единственное решение.

10.Прямоугольная декартова система координат. Векторы и действия над ними. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием масштабной единицы измерения длин и трёх пересекающихся в одной точке О взаимно перпендикулярных осей Ох, Оу и Оz. Точка О наз-я началом координат, Ох ─ осью ординат, Oz ─ осью аппликат (рис).

Пусть М ─ произвольная точка пространства (рис.). Проведём через точку М три плоскости, перпендикулярные координатным осям. Точки пересечения с осями Ох, Оу и Оz обозначим соответственно М_х, М_у и М_z. Прямоугольными (декартовыми) координатами точки М в пространстве наз-я числа х₀, у₀ и z₀, соответствующие точками М_х, М_у и М_z на соответствующих осях. При этом х₀ наз-я абсциссой, у₀ ─ ординатой, z₀ ─ аппликатой точки М. То, что точка М имеет координаты х₀, у₀ и z₀ обозначается: М(х₀; у₀;z₀). Плоскости Оху, Оуz и Охz наз-я координатными плоскостями. Они делят всё пространство на восемь частей, наз-ых октантами.

Температура, масса, объём, длина - такие величины наз-я скалярными. Сила, скорость, ускорение наз-я векторными.

Любая упорядоченная пара точек А и В пространства определяет направленный отрезок, т.е. отрезок с заданными на нём направлением. Направленный отрезок наз-я вектором. На рисунке направление вектора изображают стрелкой. Если в упорядоченной паре точка А первая, то её называют началом вектора, а точку В ─ концом вектора, в этом случае вектор обозначается . Иногда векторы обозначают малыми буквами , и т.д.

Модулем вектора наз-я его длина. Обозначают модуль или . Нуль-вектор (или нулевой вектор) ─ это вектор, начало и конец которого совпадают; обозначается он . Модуль нуль-вектора равен нулю, а направление не определено. Единичным наз-я вектор, длина которого равна единице.

Векторы и наз-я коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно (рис.8.2).

Векторы и наз-я равными (обозначается = ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные модули.

Векторы и наз-я противоположными (обозначается = − ), если они коллинеарны, противоположно направлены и имеют равные модули.

Три вектора , , наз-я компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Линейные операции над векторами:

1.Суммой двух векторов и наз-я вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец ─ с концом вектора , если вектор отложен из конца вектора (рис.8.3). Обозначается: = + .

Суммой векторов наз-я вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец ─ с концом вектора , если каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего для = 1,2,…,n-1.

Св-а суммы векторов:

1.Коммутативности: + = + (рис.8.4).

2. Ассоциативности: ( + ) + = + ( + ) (рис.8.5).

3. + = ;

4. + (− ) = .

2.Разностью двух векторов и (обозначается: − ) наз-я такой вектор , который в сумме с вектором даёт вектор , т.е. = − , если + = (рис.8.6). Нетрудно заметить, что = − = + (− ).

3.Произведение вектора ≠ 0 на число α ≠ 0 наз-я вектор (обозначается = α), удовлетворяющий следующим условиям:

а) ;

б) векторы и коллинеарны;

в) векторы и одинаково направлены при α>0 и противоположно направлены при α<0.

Св-а произведения вектора на число.

1). ;

2). ;

3). ;

4). Два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда = α для некоторого α.

Пусть в пространстве задана ось ℓ и некоторый вектор (рис.8.7). Пусть А₁ ─ проекция точки А на ось ℓ, В₁ ─ проекция точки В на ось ℓ.

Проекцией вектора на ось ℓ наз-я величина А₁В₁ вектора , взятая со знаком «+», если совпадает с направлением оси ℓ, и со знаком «−», если противоположно направлен направлению оси ℓ. Обозн-я: пр_ℓ .

Св-а проекции векторов на ось:

1) пр_ℓ =  cos( ^ℓ) (рис.8.8).

2) пр_ℓ( + ) = пр_ℓ + пр_ℓ (рис.8.9).

3) пр_ℓ( ) = пр_ℓ + … + пр_ℓ .

4) пр_ℓ( ) = (пр_ℓ ) (рис.8.10).

5) пр_ℓ ( ) = (пр_ℓ + … + (пр_ℓ ) .

Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Oxyz и произв­ольный вектор . Пусть Х = пр_х , У = пр_х , Z = пр_х . Проекции X, Y, Z вектора на оси координат называют его координатами. При этом пишут = (Х, У, Z).

Теорема: Для любых точек А(х₁;у₁;z₁) и В(х₂;у₂;z₂) координаты вектора , определяются формулы:

Х = х₂ – х₁, У = у₂ – у₁, Z = z₂ – z₁.

Доказ-о. По определению Х = пр_х . Если вектор направлен одинаково с осью Ох (рис.8.11), то пр_х А(х₁;у₁;z₁) и В(х₂;у₂;z₂) = │ │= = х₂ – х₁, т.к. точке А₁ соответствует координата х₁, а точка В ─ координата х₂.

Если вектор направлен противоположно с осью Ох (рис.8.12), то пр_х = −│ │= − = −(х₁ – х₂) = х₂ – х₁.

Т. образом, для любых точек А(х₁;у₁;z₁) и В(х₂;у₂;z₂) координата Х вектора вычисляется по формуле Х = х₂ – х₁.

Пусть = (х₁;у₁;z₁), = (х₂;у₂;z₂),…, = (х_n;у_n;z_n) ─ векторы пространства, ─ ненулевые числа. Используя свойства проекции векторов на ось, получим след-ие утверждения:

1) = ( ).

2) + + … + = (х₁ +…+ х_n; y₁ +…+ у_n; z₁ + …+ z_n).

3) − = (х₁ – х₂; у₁ – у₂; z₁ – z₂).

4) + ..+ = ).

5) =  х₁ = х₂, у₁ = у₂, z₁ = z₂.


			-
	-
		-

11. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Скалярным произведением двух векторов и наз-я число, равное произведению их модулей на косинус угла между векторами. Обозначение  . Итак, по определению  = cosφ, где φ ─ угол между и .

Св-а скалярного произведения:

1. =  = cos0 = .

2. Коммутативности:  =  .

3. Векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда  = 0.

4. Косинус угла φ между векторами и вычис-я по формуле cosφ = .

5. ( . α) = (  )α , ( α)( β) = (  )(αβ).

6. ( + ) =  + 

Теорема: Если векторы = (х₁;у₁;z₁) и = (х₂;у₂;z₂), то  = х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂.

Доказ-о: Запишем разложение векторов и по базисным векторам :

= + + , = + + .Тогда, используя свойства скалярного произведения, имеем:  = ( + + )( + + ) ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) +

+ ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) (х₁х₂) + ( )у₁х₂ + ( )z₁x₂ + ( )x₁y₂ + (y₁y₂) + ( )z₁y₂ + ( )x₁z₂ + ( )y₁z₂ + (z₁z₂)

Теперь, по свойству 1): = │ │ = 1, = 1, = 1.

По свойству 3): = = = = = = 0. След-о,

 = х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂.

Векторным произведением вектора на вектор наз-я вектор × , который удовлетворяет следующим условиям:

1) │ × │ = │ ││ │sinφ, где φ ─ угол между векторами и ;

2) вектор × перпендикулярен каждому из векторов и ;

3) тройка векторов , , × ─ правая.

Св-а векторного произведения:

1. × = 0 для любого вектора .

2. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда × = 0.

3. Площадь параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах и , равна │ × │.

4. Площадь треугольника, построенного на неколлинеарных векторах и , равна │ × │.

5. × = - ( × ).

6. ( + )× = × + × .

7. ( α)×( β) = ( × )(αβ).

Теорема: Если = (х₁;у₁;z₁) и = (х₂;у₂;z₂), то

× = = − + .

Доказ-о: Разложение векторов и по базисным векторам: = + + , = + + .

Составим таблицу векторных произведений базисных векторов; используя рис.9.4:

Схема: → × ↓ =

Теперь: × = ( + + ) × ( + + ) ( )×( ) + ( )×( ) + ( )×( ) + + ( )×( ) + ( )×( ) + ( )×( ) + ( )×( ) + ( )×( ) + ( )×( )

( × ) + ( × ) + ( × ) + ( × ) + ( × ) + ( × ) +

+ ( × ) + ( × ) + ( × ) − ( ) + ( ) + ( ) − ( ) − − ( ) + ( ) = ( − ) − ( − ) + ( − ) = −

− + = .

Следствие: Площадь параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах = (х₁;у₁;z₁) и = (х₂;у₂;z₂) равна модулю векторного произведения × , т.е. S_{паралл.}=│ × │= .

Следствие: Площадь треугольника, построенного на неколлинеарных векторах

= (х₁;у₁;z₁) и = (х₂;у₂;z₂) вычисляется по формуле

S_треуг.= .

Пусть даны три вектора , и . Умножим вектор на векторно, а затем, векторное произведение × умножим скалярно на . В результате получим число ( × ) , которое называют смешанным произведение трёх векторов , и .

Теорема: Смешанное произведение ( × ) трёх некомпланарных векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах , и , связанному со знаком «+», если тройка , , правая, и со знаком «−», если эта тройка ─ левая.

Доказ-о: . . =│ × │ соsφ.=  S  h =  V_{параллелепипеда.}

Следствие: Векторы , и компланарны тогда, когда их смешанное произведение ( × ) = 0.

Теорема: Если = (х₁;у₁;z₁), = (х₂;у₂;z₂), = (х₃;у₃;z₃), тогда смешанное произведение =

Доказ-о:

= ( × ) = х₃  − у₃  + z₃  = .