13. Прямая в пространстве. Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве. Угол между прямыми.

Направляющим вектором прямой наз-я любой вектор, лежащий на прямой или параллельный ей.

Составим уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀;у₀;z₀) и имеющей направляющий вектор = (а₁;а₂;а₃) (Рис.).

Отложим из точки М₀ вектор . Пусть М(х;у;z) ─ произвольная точка данной прямой, а ─ её радиус- вектор точки М₀. Тогда , , поэтому . Это уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой.

Параметрические уравнения прямой. В векторно-параметрическом уравнении прямой перейдёт к координатным соотношениям (х;у;z) = (х₀;у₀;z₀) + (а₁;а₂;а₃)t. Отсюда параметрические уравнения прямой: х = х₀ + а₁t, у = у₀ +а₂t, z = z₀ +a₃t. (4)

Канонические уравнения прямой.

Из уравнений (4) выразим t:

t = , t = , t = , откуда получаются канонические уравнения прямой

= = . (5)

Рассмотрим две прямые с направляющими векторами = (а₁;а₂;а₃) и .

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, поэтому

cos= = (7)

Условие перпендикулярности прямых: а₁в₁ + а₂в₂ + а₃в₃ = 0.

Условие параллельности прямых: ,

т.е. . (8)

14. Прямая как пересечение двух плоскостей. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью в пространстве.

Пусть заданы две плоскости: А₁х + В₁у +С₁z + D₁ = 0, А₂х + В₂у +С₂z + D₂ = 0

Если плоскости не являются параллельными, то нарушается условие

. Пусть, например  .

Найдём уравнение прямой, по которой пересекаются плоскости. В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять вектор:

= × = = .

Чтобы найти точку, принадлежащую искомой прямой, фиксируем некоторое значение z = z₀ и решая систему :

, получаем значения х = х₀, у = у₀. Итак, искомая точка М(х₀;у₀;z₀).

Искомое уравнение

.

Пусть задана прямая х = х₀ + а₁t, y = y₀ + a₂t, z = z₀ + a₃t и плоскость А₁х + В₁у +С₁z + D₁ = 0.

Чтобы найти общие точки прямой и плоскости, необходимо решить систему их уравнений:

,откуда А₁(х₀ + а₁t) + B₁(y₀ + a₂t) + C₁(z₀ + a₃t) + D₁ = 0,

(A₁a₁ + B₁a₂ + C₁a₃)t + (A₁x₀ + B₁y₀ + C₁z₀ + D₁) = 0.

Если А₁а₁ + В₁а₂ + С₁а₃  0, то система имеет единственное решение t = t₀ = - .

В этом случае прямая и плоскость пересекаются в единственной точке М₁(х₁;у₁;z₁), где х₁ = х₀ + а₁t₀,

y₁ = y₀ + a₂t₀, z₁ = z₀ + a₃t₀.

Если А₁а₁ + В₁а₂ + С₁а₃ = 0, А₁x₀ + В₁y₀ + С₁z₀ + D₁  0, то прямая и плоскость не имеет общих точек, т.е. параллельны.

Если же А₁а₁ + В₁а₂ + С₁а₃ = 0, А₁x₀ + В₁y₀ + С₁z₀ + D₁ = 0, то прямая принадлежит плоскости.

Найдём угол  между прямой: = =

и плоскостью А₁х + В₁у +С₁z + D₁ = 0.

Поскольку вектор = (А₁;В₁;С₁) образует с направляющим вектором = (а₁;а₂;а₃) угол  = -  или  = +  (Рис.10.3 и Рис.10.4), то cos = cos( - ) или cos = cos( + ), откуда cos = sin или cos = - sin.

Значит,sin=cos= .

15. Цилиндры второго порядка. Поверхности вращения второго порядка. Цилиндрической поверхностью наз-я поверхность, описываемая прямой (образующей), движущейся вдоль некоторой линии (направляющей) и остающейся параллельной исходному направлению.

Цилиндром второго порядка наз-я цилиндрическая поверхность, направляющей которой является эллипс (окружность), гипербола или парабола.

Рассмотрим цилиндры второго порядка, у которых образующая параллельна оси Оz.

1). Эллиптический цилиндр (рис.10.5).

.В частности эллиптический цилиндр имеет в качестве направляющей окружность. Его уравнение : или .

2). Гиперболический цилиндр (рис. 10.6)

--

3) Параболический цилиндр (рис. 10.7).

х² = 2ру.

Поверхностью вращения второго порядка наз-я поверхность, образованная вращением линии второго порядка её оси.

1) Эллипсоид вращения. При вращении эллипса , х = 0 вокруг оси Оz получим поверхность, которая называется эллипсоидом вращения. (рис.10.8).

При а = с получаем сферу х² + у² + z² = a².

2) Однополостный гиперболоид образуется при вращении гиперболы , х = 0 вокруг оси Оz.

(рис.10.9).

3) Двуполостный гиперболоид образуется при вращении гиперболы , х = 0 вокруг оси Оz.

(рис.10.10).

4) Конус вращения образуется при вращении прямых , х = 0 вокруг оси Оz. (рис.10.11).

5) Параболоид вращения получается вращением параболы у² = 2рz , х = 0 вокруг оси Оz

х² + у² = 2рz или (рис.10.12).