8. Определители, их свойства. Обратная матрица и её вычисление.

А = . - Определителем второго порядка, соответствующим матрице А, называется число, вычисляемое по формуле: │А│= = .

Элементы a_ij наз-я элементами определителя │А│, элементы а₁₁, а₂₂ образуют главную диагональ, а элементы а₁₂, а₂₁ ─ побочную.

А = . - Определителем третьего порядка, соответствующим матрице А, называется число, вычисляемое по формуле:

│А│= = .

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком «плюс», а какие ─ со знаком «минус», полезно запомнить правило, называемое правилом треугольника:

= ─ .

Ещё один способ вычисления определителя третьего порядка.

Опред-е. Минором M_ij элемента a_ij определителя наз-я определитель, полученный из данного вычёркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij определителя наз-я его минор M_ij, взятый со знаком (-1)^i+j.

Теорема: Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Формула: │А│= А₂₁ + А₂₂ + А_23. Разложение определителя │А│ по элементам второй строки. Аналогично разложение можно получить по элементам других строк и любого столбца.

Опред-е: Определителем n-го порядка, соответствующим матрице n-го порядка

А = наз-я число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. │A│= А_i1 + A_i2 + … + A_in = А_1j + A_2j + … + A_nj

При n = 2 получается формула для вычисления определителя второго порядка. Если n = 1, то по определению будем считать |A|=|а₁₁|=а₁₁.

Если в определителе все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то при вычислении определителя его удобно разложить по элементам этой строки (столбца).

Свойства:

Матрицу вида или

называют треугольной матрицей.

Св-о 1. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали, т.е. = = .

Св-о 2. Определитель матрицы с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю.

Св-о 3. При транспонировании матрицы определитель не изменяется, т.е.

│А│= │А^t│

Св-о 4. Если матрица В получается из матрицы А умножением каждого элементанекоторой строки на число k, то │В│= k│А│.

Св-о 5.

= + .

Св-о 6. Если матрица В получается из матрицы А перестановкой двух строк,

то│В│= −│А│.

Св-о 7. Определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю, в частности, нулю равен определитель матрицы с двумя одинаковыми строками.

Св-о 8. Определитель матрицы не изменяется, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки матрицы, умноженные на некоторое число.

Замечание. Так как по свойству 3 определитель матрицы не меняется при транспонировании, то все свойства о строках матрицы верны и для столбцов.

Св-о 9. Если А и В ─ квадратные матрицы порядка n, то │АВ│=│А││В│.

Квадратная матрица А порядка n наз-я обратимой, если существует матрица В такая, что АВ = ВА = Е_n. В этом случае матрица В называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Теорема: Справедливы следующие утверждения:

1) если матрица А обратима, то существует точно одна ей обратная матрица;

2) обратимая матрица имеет определитель, отличный от нуля;

3) если А и В ─ обратимые матрицы порядка n, то матрица АВ обратима, причём (АВ)^-1 =

= В^-1 А^-1 .

Доказ-о: 1) Пусть В и С ─ матрицы, обратные к матрице А, т.е. АВ = ВА = Е_n и АС = СА = Е_n. Тогда В = ВЕ_n = В(АС) = (ВА)С = Е_nС = С.

2) Пусть матрица А обратима. Тогда существует матрица А^-1, ей обратная, причём

АА^-1 = Е_n. По свойству 9 определителя │АА^-1│=│А││А^-1│. Тогда │А││А^-1│=│Е_n│, откуда │А││А^-1│= 1.

След-о, │А│ 0.

3) Действ-о, (АВ)(В^-1А^-1) = (А(ВВ^-1))А^-1 = (АЕ_n)А^-1 = АА^-1 = Е_n.

(В^-1А^-1)(АВ) = (В^-1(А^-1А))В = (В^-1Е_n)В = В^-1В = Е_n.

След-о, АВ ─обратимая матрица, причём (АВ)^-1 = В^-1А^-1.

Следующая теорема даёт критерий существования обратной матрицы и способ её вычисления.

Теорема: Квадратная матрица А обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля. Если │А│ 0, то

А^-1 = .