20.Основные понятия пространства состояния

Состоянием САУ называется та min информация об объекте, которая позволяет прогнозировать поведение системы в будущем при известных задающих воздействиях.

В основе лежит описание в виде черного ящика.

Выделяются следующие вектора:

1. в ектор входных воздействий - R

2. вектор выходных переменных - Y

3. вектор внутренних переменных - X

; ; ;

Совокупность этих векторов определяет состояние системы (пространства состояния)

Описание системы определяет следующая система уравнений:

, где

A^* - матрица коэффициентов САУ

B^* - матрица входа САУ

C^* - матрица выхода САУ

D^* - матрица обхода САУ

Данное описание позволяет представить все стороны САУ:

• Первое уравнение описывает динамику САУ

• Второе уравнение описывает статику САУ

- обобщенный вектор состояния

;

Ч тобы получить описание в терминах пространства состояния вводят понятие схемы переменных состояния, основой которой является единичный интегратор.

или

Схемы переменных состояния могут быть получены тремя способами:

• Метод прямого программирования

• Метод параллельного программирования

• Метод последовательного программирования

21.Метод прямого программирования

Используется, если описание САУ представлено в виде передаточной функции:

Числитель и знаменатель делим на коэффициент b₀, что позволяет определить знаменатель, как цепь обратных связей:

С

хема переменных состояния строится с последовательной цепочки единичных интеграторов. Количество интеграторов равно п. Далее определяется обратная цепь по знаменателю преобразованной передаточной функции.

В методе пространства состояния (если нет иных оговорок) нумерация внутренних переменных идет с конца.

Пример:

Рассмотрим следующую передаточную функцию:

, преобразуем ее в

.

По данным строим схему:

П

о данной схеме переменных состояния составим систему уравнений. Рассмотрим расширенный вектор:

, выходной же вектор - .

Допустим, что r(t) – единичная ступенчатая функция, тогда система уравнений будет иметь вид:

Для y(t) составим уравнение: .

Определяем матрицу коэффициентов: .

Матрица выхода: .

22. Схемы переменных состояния типовых звеньев

1. А периодическое звено:

; ;

2. Колебательное звено:

; ;

3. Идеальное интегрирующее звено:

; ;

4. Реальное интегрирующее звено:

; ;

5. Идеальное дифференцирующее звено:

Схема состояния идеального дифференцирующего звена не существует.

6. Реальное дифференцирующее звено:

; ;

7. Упругое (форсирующее) звено:

; ;

8. Изодромное звено:

; ;

23. Метод параллельного программирования

Передаточная функция предварительно разбивается на сумму следующих дробей:

,

при этом s+d=n – порядку системы; _i – это действительные полюса передаточной функции W(p); _j, _j – определяют комплексные полюса передаточной функции W(p).

Строим структурную схему:

П

ример:

Схема состояния будет выглядеть следующим образом:

С

оставим систему уравнений:

Т.о. матрица коэффициентов А имеет следующий вид:

; а матрица .

Метод последовательного программирования

Применяется тогда, когда передаточная функция представлена произведением передаточных функций простейших звеньев. В этом случае схема переменных состояния представляет собой последовательное соединение схем состояния простейших звеньев.

24.Матрицы перехода. аналитический способ получения мат.

;

Т – некоторое время (не постоянная времени)

(Т) – матрица перехода

Матрицу перехода можно получить тремя способами:

• Аналитический

• Разложением в ряд

• По схеме переменных состояния

аналитический способ получения матрицы перехода

(1)

Применим к уравнению (1) преобразование Лапласа:

, где

- квадратная матрица;

- единичная матрица

Ф(Т)

Пример:

; ;

;

25.Определение матрицы перехода по схемам переменных состояний и ………

Решением дифференциального уравнения является:

Вычислять до тех пор, пока:

Получение матрицы перехода по схеме переменных состояния

,

Предположим, что ;

Элемент , матрицы перехода Ф определяется по схеме переменных состояния как реакция i-й переменной на ед. ступеньку, поданную на j-ю переменную при прочих нулевых начальных условиях.

С точки зрения использования различных способов получения Ф(Т), предпочтение отдается аналитическому способу и способу разложения в ряд, при этом аналитический способ дает явную формулу определения матрицы перехода, что позволяет использовать данную матрицу при различных значениях.

Если величина t является фиксированной, то удобнее использовать метод разложения в ряд, как наиболее экономичный