Тема 1. Потоки событий.

1. Пуассоновские потоки событий. Свойства пуассоновских потоков.

В СМО входной поток заявок случайный. Если заявки поступают через интервал времени , то поток называется регулярным.

– плотность функции распределения интервала, – интенсивность, число заявок в единицу времени.

Простейший (пуассоновский) поток

Свойства потока:

– стационарность: число заявок за интервал зависит только от величины и не зависит от расположения на оси. ;

– безпоследействие: число заявок в интервал не зависит от числа заявок за интервал , если они не пересекаются;

• ординарность: вероятность поступления в интервал времени больше одной заявки стремится к нулю.

2. Экспоненциальное распределение. Связь экспоненциального распределения с пуассоновскими потоками.

Выберем конечный интервал , на нем :

Из свойства ординарности:

– вероятность того, что за поступит 1 заявка;

– вероятность того, что за не поступит заявок.

Разделим интервал на равных участков:

.

Вероятность того, что за интервал поступит ровно заявок, равна:

.

Учитывая свойство безпоследействия:

; (1.4)

. (1.5)

Подставляя (1.5) в (1.4), получим:

– вероятность того, что за время поступит ровно заявок.

Обозначим , тогда ; (используется свойство стационарности). Полученное определяет распределение Пуассона, отсюда и название потока заявок.

Вероятности рассчитываются на основе :

Математическое ожидание числа заявок за интервал t:

.

Дисперсия числа заявок за интервал t:

Произведем замену :

.

Отметим полученную отличительную особенность пуассоновского распределения – математическое ожидание равно дисперсии.

Определим плотность функции распределения интервала времени между моментами поступлениями заявок в пуассоновском потоке:

.

Откуда следует, что искомая функция (экспоненциальное распределение). Математическое ожидание и дисперсия этого распределения равны:

Следовательно, пуассоновский поток заявок можем описать либо распределением Пуассона количества заявок за определенный интервал времени, либо экспоненциальным распределением времени между моментами поступлениями заявок.

Отметим, что вероятность того, что за малый промежуток времени поступит заявка, равна

.

3. Операции с пуассоновскими потоками.

а) суперпозиция (объединение) двух или нескольких пуассоновских потоков образует пуассоновский поток;

б) операция случайного просеивания (разделения) пуассоновского потока дает на выходе пуассоновские потоки. При разделении потока должно быть задано дискретное распределение вероятностей, с которыми заявки из основного (входного) потока попадают в каждый из выходных потоков. Суть операции: каждая заявка из входного потока переходит в один из выходных в соответствии с заданным распределением.

При случайном просеивании заявок сохраняются все его свойства (ординарности, безпоследействия, стационарности).

4. Потоки Эрланга.

Пусть имеем пуассоновский поток: :

Проведем регулярное (не случайное) просеивание потока. Если будем исключать каждую вторую заявку, то получим поток Эрланга второго порядка. Если оставлять каждую третью, то получим поток Эрланга третьего порядка и т.д.

Плотность распределения интервала времени между заявками потока Эрланга второго порядка равна:

.

Плотность функции распределения потока Эрланга 2-го порядка (рис. 1.4):

.

Для потока порядка получим:

Рис.1.4. Плотность функции распределения Эрланга

Математическое ожидание интервала времени между заявками потока Эрланга порядка равно:

,

где – интенсивность пуассоновского потока, из которого сгенерирован поток Эрланга (порождающего пуассоновского потока).

Дисперсия интервала времени между заявками потока Эрланга порядка равна:

.

Интенсивность потока Эрланга равна:

.

Выразим функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию через .

;

;

.

Отметим, что при дисперсия а поток Эрланга стремится к регулярному, т.е. интервалы между заявками становятся одинаковыми.