4. Анализ одноканальных и многоканальных смо без очереди.

СМО без очереди (N=0) одноканальная. Используем теорию процессов гибели и размножения для определения вероятностей (рис. 1.9).

 ;

.

Вероятность отказа заявки в обслуживании равна :

.

Среднее число заявок в системе равно:

. (1.17)

Среднее время пребывания в СМО равно среднему времени обслуживания:

; (1.18)

так как очереди в СМО нет, то

Эффективный поток заявок определяется по формуле:

.

СМО без очереди (N=0) многоканальная

Рис. 1.12. Размеченный граф многоканальной СМО без очереди

.

. (1.31)

Используя (1.31) при , получим:

.

Вероятность отказа в обслуживании равна:

.

Следовательно,

.

Предельные вероятности состояний равны:

.

Так как очередь отсутствует, среднее время нахождения заявок в СМО равно:

. (1.35)

Среднее число заявок в СМО равно:

(1.36)

5. Анализ пуассоновских многоканальных смо с неограниченной очередью.

СМО с неограниченной очередью (N→∞)

Рис. 1.13. Размеченный граф многоканальной СМО с неограниченной очередью

Для определения характеристик данной СМО воспользуемся формулами для СМО с ограниченной очередью при :

;

(1.37)

(1.38)

Чтобы существовал установившийся процесс в СМО, необходимо выполнение условия

.

6. Анализ пуассоновских многоканальных смо с ограниченной очередью.

СМО с ограниченной очередью (N>0)

Размеченный граф данного класса СМО представлен на рис. 1.11.

Рис. 1.11. Размеченный граф многоканальной СМО с ограниченной очередью

Составим систему уравнений для определения предельных вероятностей состояний:

, где

.

Введем обозначение , тогда

, и

.

Учитывая условие, что сумма всех вероятностей равна единице, т.е. , получим :

. (1.31)

Определим среднее число заявок в очереди:

, где ;

. (1.32)

Введем в рассмотрение функцию:

;

. (1.33)

Подставим (1.33) в (1.32):

. (1.34)

Вероятность отказа в обслуживании равна:

.

Эффективный поток заявок:

.

Используя формулы Литтла, получим среднее время ожидания заявок в очереди:

.

Время в СМО отличается от на время обслуживания:

.

Наконец среднее число заявок в системе равно:

.

Частный случай .

Система уравнений для определения примет вид:

Определим :

;

.

Средняя длина очереди равна:

.

Учитывая, что , получим:

.

7. Смо самообслуживания

Системы, в которых нет отказа и отсутствует очередь, называются СМО самообслуживания. Такие требования к СМО будут выполняться, если в СМО число каналов будет стремиться к бесконечности.

Размеченный граф такой СМО представлен на рис. 1.14.

Рис. 1.14. Размеченный граф СМО самообслуживания

Для анализа СМО самообслуживания достаточно использовать формулы Литтла. Так как СМО без потерь, то , а , остальные характеристики СМО равны: .

Определим вероятность состояния − вероятность того, что система будет свободна:

.

Так как формулы Литтла справедливы для СМО с произвольными потоками заявок и временем обслуживания, то формулы для и тоже справедливы для СМО самообслуживания с произвольными потоками заявок и временем обслуживания. В то же время, при выводе формулы для использованы процессы гибели и размножения, поэтому полученное выражение справедливо только для пуассоновских СМО самообслуживания.