6. Верификация законов распределения потоков событий. Критерий согласия Колмогорова

Для проверки гипотезы необходимо заполнить табл. 1.3.

Таблица 1.3

Расчеты для проверки гипотезы по критерию Колмогорова

n	0	1	2	3	4	5-6
	0,083	0,342	0,675	0,844	0,925	1,0
	0,110	0,352	0,619	0,814	0,924	1,0
	0,027	0,010	0,056	0,030	0,001	0,0

– функция распределения, полученная из экспериментальных данных;

– теоретическая функция распределения, соответствующая пуассоновскому распределению:

, и т.д.

, , .

– максимальное отклонение теоретической и экспериментальной функций распределения.

Статистика для проверки гипотезы рассчитывается по формуле: , в нашем примере .

В приложении 2 приведено распределение Колмогорова. – вероятность того, что расхождение между теоретическим и экспериментальным произошло из-за случайных факторов.

Для рассматриваемого примера , т.е. с вероятностью 0,850 экспериментальное распределение расходится с пуассоновским из-за случайных факторов.

2. Тема 2. Марковские процессы.

   1. Классификация марковских процессов. Анализ марковских процессов с дискретными состояниями и дискретным временем.

Математический аппарат марковских процессов используется для анализа систем массового обслуживания. Поэтому прежде чем переходить к анализу СМО, остановимся на марковских процессах. Причем будем рассматривать только те вопросы, которые требуются для анализа СМО.

Пусть в объекте моделирования определены состояния , например, в системе массового обслуживания:

– в СМО нет заявок,

– в СМО одна заявка,

– в СМО две заявки и т.д.

C течением времени СМО переходит из одного состояния в другое.

Рассмотрим марковские процессы с дискретными состояниями (число состояний конечно или счетно). При этом выделим:

а) марковские процессы с дискретным временем перехода (моменты перехода заранее определены);

б) марковские процессы с непрерывным временем перехода (момент перехода не определен, случаен).

Отметим, что марковские процессы обладают свойством безпоследействия.

Марковские процессы с дискретными состояниями и дискретным временем перехода

Пусть система находится в состоянии , где .

Для задания марковского процесса необходимо определить матрицу вероятностей перехода из одного состояния в другое.

Пример матрицы переходов:

Для заданной матрицы граф переходов имеет вид:

Так как на каждом следующем шаге система переходит в другое состояние, то .

Пусть задан вектор вероятностей в первый момент времени:

.

Какова вероятность нахождения системы в состоянии i после первого перехода?

. (1.6)

В векторном виде (1.6): .

На шаге получим уравнение:

. (1.7)

Если (не зависит от шага), то процесс называется однородным.

При устремлении к бесконечности получим вектор предельных вероятностей:

.

Процесс, в котором вектор предельных вероятностей не зависит от вектора начального состояния, называется эргодическим.

Если матрица переходов неприводима (т.е. из каждого состояния можно достигнуть любое другое состояние), то существует вектор предельных вероятностей.

Пример неприводимой матрицы переходов:

Если матрица переходов неприводима, т.е. процесс эргодический, то вектор предельных вероятностей определяется из уравнения: .