2. Характеристики смо. Формулы Литтла.

Основные характеристики

– среднее число заявок в СМО;

– среднее время пребывания заявок в СМО;

– средняя длина очереди;

– среднее время ожидания заявок в очереди;

– вероятность отказа в обслуживании;

– вероятность того, что в системе отсутствуют заявки (часть времени, когда каналы обслуживания простаивают).

Производные характеристики

– среднее число свободных мест в очереди;

– среднее число занятых каналов;

– среднее число свободных (простаивающих) каналов;

– эффективный (реальный) поток заявок, который обслуживается.

Связи между основными характеристиками (формулы Литтла)

В установившемся режиме функционирования СМО будем фиксировать число заявок в системе во времени n(t). Результаты представлены на рис. 1.3, он показывает, сколько заявок находится в каждый момент времени в СМО.

Обозначим через , – время наблюдения.

Среднее число заявок в СМО будет определяться из выражения: ; число заявок, обслуженных за интервал времени : ; среднее время пребывания заявок в СМО определяется из .

n(t)

0 t₁ t₂ t

Рис. 1.3. График изменения числа заявок в СМО во времени

Сравнивая выражения для и , можем записать связь между ними:

. (1.1)

Аналогично для средней длины очереди получим:

. (1.2)

и отличаются временем обслуживания.

, (1.3)

где – среднее время обслуживания.

Таким образом, вычислив и , можно, используя (1.1), (1.2), (1.3), вычислить все основные характеристики:

.

Отметим также следующие соотношения:

;

;

.

Чтобы найти , необходимо определить (вероятности того, что в СМО находится ровно заявок), так как

.

Таким образом, задача определения характеристик СМО сводится к определению вероятностей ( ).

3. Анализ пуассоновских одноканальных смо с ограниченной и неограниченной очередями .

СМО с ограниченной очередью

Размеченный граф данного класса СМО представлен на рис. 1.10.

Конечное состояние в системе определяется максимальным числом мест в очереди плюс 1 канал обслуживания. Введем обозначение . Система уравнений для нахождения предельных вероятностей имеет вид:

(1.19)

Учитывая, что , получим уравнение для определения :

 ,

откуда получим , где – любое, т.е. на отношение не накладывается никаких ограничений.

Вероятности .

Определим среднее число заявок в СМО:

. (1.20)

Обозначим через , тогда

(1.21)

Подставив (1.20) в (1.21), получим:

. (1.22)

Отметим, что вероятность отказа равна вероятности последнего состояния в размеченном графе:

;

.

Используя формулы Литтла (1.1 – 1.3), получим:

; (1.23)

; (1.24)

. (1.25)

Рассмотрим частный случай, когда , т.е. . В этом случае :

;

.

Основные характеристики СМО определяются по следующим формулам:

     СМО с неограниченной очередью. Так как СМО без отказов, то , а .

Для получения формул расчета характеристик СМО воспользуемся формулами для СМО с ограниченной очередью.

. (1.26)

Чтобы существовал предел, необходимо выполнение условия , которое означает, что интенсивность обслуживания должна быть больше интенсивности потока заявок, иначе очередь будет расти до бесконечности.

Отметим, что в СМО с бесконечной очередью

. (1.27)

Предел (1.26) равен: , и тогда

; (1.28)

; (1.29)

. (1.30)

Рассмотрим вопрос о функции распределения времени пребывания в одноканальной СМО с бесконечной очередью при дисциплине очереди FIFO.

Время пребывания в СМО, когда в ней находится n заявок (система находится в состоянии S_n, равно сумме длительностей обслуживания n заявок. Так как время обслуживания распределено по экспоненциальному закону, то плотность функции распределения условной вероятности времени

пребывания в СМО, когда в ней находится n заявок, определяется так же, как распределение Эрланга n порядка (см. раздел 1.2.2)

Искомая плотность функции распределения определяется выражением:

С учетом (1.19) и (1.27), запишется в виде:

Видим, что − экспоненциальное распределение с математическим ожиданием  , что совпадает с (1.28).

Из того, что − экспоненциальное распределение, следует важный вывод: выходной поток заявок в одноканальной СМО с бесконечной очередью является пуассоновским потоком.