2. Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Пусть система может находиться в состояниях ( ).

Время перехода – случайная величина.

– интенсивность перехода из состояния в .

За время вероятность перехода .

Если (не зависит от времени), то это однородный марковский процесс.

Рассмотрим случай с двумя состояниями:

Составим конечно–разностное уравнение для определения .

Для первого состояния:

(1.8)

. (1.9)

Из (1.8) получим:

,

. (1.10)

Из (1.9) получим

. (1.11)

Следует иметь в виду, что в любой момент .

Примем за начальное состояние системы , тогда решением дифференциального уравнения (1.10) будет:

(1.12)

. (1.13)

Графически (1.12) и (1.13) представлены на рис. 1.6.

При стремлении к бесконечности получим предельные вероятности: .

Для определения и приравняем производные из системы уравнений (1.10) и (1.11) к нулю:

Получим:

Рассмотрим случай для четырех состояний (рис. 1.7). Для простоты изображения размеченного графа будем опускать.

Рис.1.7. Размеченный граф

Система уравнений для данного графа приведена ниже.

.

В общем случае, когда число состояний , система уравнений примет вид:

.

Эту систему уравнений по имени автора называют системой уравнений Колмогорова.

Для определения предельных вероятностей получим систему линейных уравнений:

( ),

.

3. Уравнения Колмогорова при анализе марковских процессов.

В общем случае, когда число состояний , система уравнений примет вид:

.

Эту систему уравнений по имени автора называют системой уравнений Колмогорова.

Для определения предельных вероятностей получим систему линейных уравнений:

( ),

.

4. Процессы гибели и размножения.

Процессами гибели и размножения называются марковские процессы, имеющие размеченный граф, приведенный на рис.1.8.

Рис.1.8. Размеченный граф процессов гибели и размножения

− интенсивности размножения, − интенсивности гибели.

Для нахождения вектора предельных вероятностей составим систему уравнений:

(по Колмогорову), (1.14)

. (1.15)

Подставляя (1.14) в (1.15), получим:

Для всех последующих состояний уравнения будут иметь одинаковый вид:

( ).

Чтобы определить все предельные вероятности, воспользуемся условием: . Для этого выразим через :

.                     (1.16)

Введем обозначение , тогда (1.14) и (1.16) запишутся в виде: .

Все оставшиеся вероятности выражаются через :

.

В результате получим выражение для :

.

Определив , можем рассчитать все .

Пример анализа процесса гибели и размножения.

Пусть задан процесс гибели и размножения:

Расчет предельных вероятностей:

;

;

;

3. Тема 3. Системы массового обслуживания.

   1. Классификация смо.

Если (см. п.1.2.), то такие СМО называются пуассоновскими.

– одноканальные СМО;

– многоканальные СМО;

– системы без очередей;

– системы с бесконечной очередью;

(произвольное конечное число) – системы с ограниченной очередью.

В разделе также рассматриваются следующие классы систем:

– СМО с взаимопомощью каналов обслуживания. Если есть каналов, каждый из которых обладает интенсивностью , то в процессе обслуживания заявок они могут оказывать взаимопомощь, что сказывается на характеристиках СМО;

– СМО самообслуживания;

– замкнутые СМО (с несколькими источниками заявок);

– многофазные СМО, в которых обслуживание заявок осуществляется в несколько фаз (этапов);

– сети СМО, узлами сети являются отдельные СМО. Выделяют ациклические сети (рис. 1.1) и циклические сети (рис. 1.2).

0,3

		СМО1		СМО2
Источник		0,7 	0,7	1,0
		СМО3		СМО4

0,3 – вероятность

Рис. 1.1. Топология ациклической сети СМО

0,3

		СМО1		СМО2
Источник		0,7 0,2	0,5	1,0
		СМО3		СМО4

0,3

Рис. 1.2. Топология циклической сети СМО