Примеры решения задач.

Пример 1. Пылинки массой m=10^-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентра­ция пылинок различается не более чем на 1 %. Температура Т воздуха во всём объеме одинакова и равна 300 К.

Решение. При равновесном распределении пылинок кон­центрация их зависит только от координаты z по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно при­менить формулу Больцмана

. (1)

Так как в однородном поле силы тяжести U= , то

n=n₀e^-mgz/(kT) (2)

По условию задачи, изменение n концентрации с высотой мало по сравнению с n (n/n=0,01), поэтому без существенной погреш­ности изменение концентрации n можно заменить дифференциа­лом dn.

Дифференцируя выражение (2) по z, получим

dп= -п₀ e^-mgz/(kT)

Так как п₀e^-mgz/(kT)=n, то dn=- .

Отсюда находим интересующее нас изменение координаты:

dz= -

Знак минус показывает, что положительным изменениям координа­ты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0). Знак минус опустим (в данном случае он несуществен) и заменим дифференциалы dz и dn конечными приращениями z и n:

z = .

Подставим в эту формулу значения величин n/n=0,01, k=1,3810^-23 Дж/К, T=300 К, m= 10^-21 кг, g=9,81 м/с² и, произведя вычисления, найдем

z=4,2 мм.

Как видно из полученного результата, концентрация даже таких маленьких пылинок очень быстро изменяется с высотой.

Задачи.

201. Определить силу F, действующую на частицу, находящую­ся во внешнем однородном поле силы тяжести, если отношение п₁/п₂ концентраций частиц на двух уровнях, отстоящих друг от друга на z=1 м, равно e. Температуру Т считать везде одинаковой и равной 300 К.

202. На какой высоте h над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на ее поверхности? Считать, что темпе­ратура Т воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.

203. Барометр в кабине летящего вертолета показывает давле­ние р=90 кПа. На какой высоте h летит вертолет, если на взлетной площадке барометр показывал давление p₀=100 кПа? Считать, что температура Т воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.

204. Найти изменение высоты h, соответствующее изменению давления на p=100 Па, в двух случаях: 1) вблизи поверхности Земли, где температура T₁=290 К, давление p₁=100 кПа; 2) на некоторой высоте, где температура Т₂=220 К, давление p₂=25 кПа.

205. Барометр в кабине летящего самолета все время показыва­ет одинаковое давление р=80 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h полета неизменной. Однако температура воздуха изменилась на T=1 К. Какую ошибку h в определении высоты допустил летчик? Считать, что температура не зависит от высоты и что у по­верхности Земли давление р₀=100 кПа.

206. Ротор центрифуги вращается с угловой скоростью . Используя функцию распределения Больцмана, установить распре­деление концентрации п. частиц массой m, находящихся в роторе центрифуги, как функцию расстояния r от оси вращения.

207. В центрифуге с ротором радиусом а, равным 0,5 м, при температуре T=300К находится в газообразном состоянии вещест­во с относительной молекулярной массой M_r=10⁸. Определить от­ношение n_a/n₀ концентраций молекул у стенок ротора и в центре его, если ротор вращается с частотой п=30 с^-1.

208. Ротор центрифуги, заполненный радоном, вращается с частотой п=50с^-1. Радиус а ротора равен 0,5 м. Определить давле­ние р газа на стенки ротора, если в его центре давление р₀ равно нормальному атмосферному. Температуру Т по всему объему счи­тать одинаковой и равной 300 К.

209. В центрифуге находится некоторый газ при температуре Т=271 К. Ротор центрифуги радиусом а=0,4 м вращается с угловой скоростью =500 рад/с. Определить относительную молекулярную массу М_r газа, если давление р у стенки ротора в 2,1 раза больше давления p₀ в его центре.

210. Ротор ультрацентрифуги радиусом а=0,2 м заполнен ато­марным хлором при температуре T=3 кК. Хлор состоит из двух изотопов: ³⁷Cl и ³⁵Cl. Доля ₁ атомов изотопа ³⁷Cl составляет 0,25. Определить доли '₁ и '₂ атомов того и другого изотопов вблизи стенок ротора, если ротору сообщить угловую скорость вращения , равную 10⁴ рад/с.