Гидродинамика. Краткие теоретические сведения.

 Уравнение неразрывности струи

,

где S₁ и S₂ – площади поперечного сечения трубки тока в двух местах; v₁ и v₂ –соответствующие скорости течений.

 Уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости в общем случае

,

где p₁ и р₂ – статические давления жидкости в двух сечениях трубки тока; v₁ и v_{2 –}скорости жидкости в этих сечениях; и – динамические давления жидкости в этих же сечениях; h₁ и h₂ – высоты их над некоторым уровнем; и – гидростатические давления.

Уравнение Бернулли в случае, когда оба сечения находятся на одной высоте (h₁=h₂)

.

 Скорость течения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде

,

где h — глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.

 Формула Пуазейля. Объем жидкости (газа), протекающей за время t через длинную трубку,

где r — радиус трубки; l – ее длина; Δp – разность давлений на концах трубки; η – динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения) жидкости.

 Число Рейнольдса для потока жидкости в длинных трубках

,

где <v> – средняя по сечению скорость течения жидкости; d – диаметр трубки, и для движения шарика d жидкости

,

где v – скорость шарика; d—его диаметр.

Число Рейнольдса Re есть функция скорости тела, линейной величины l, определяющей размеры тела, плотности и динамической вязкости η жидкости, т. е.

.

При малых значениях чисел Рейнольдса, меньших некоторого критического значения Re_кp, движение жидкости является ламинарным. При значениях Re>>Re_кр движение жидкости переходит в турбулентное.

Критическое число Рейнольдса для движения шарика в жидкости Re_кр=0,5; для потока жидкости в длинных трубках Re_кр=2300.

 Формула Стокса. Сила сопротивления F, действующая со стороны потока жидкости на медленно движущийся в ней шарик,

,

где r – радиус шарика; – его скорость.

Формула справедлива для скоростей, при которых число Рейнольдса много меньше единицы (Re<<l).

Примеры решения задач.

Пример №1. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Определить максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является еще ламинарным. Движение считать установившимся.

Решение. Если в вязкой жидкости движется тело, то вместе с ним, как одно целое, движется и прилипший к телу слой жидкости. Этот слой вследствие внутреннего трения увлекает за собой и соседние слои. Возникающее при этом движение жидкости является ламинарным или турбулентным в зависимости .от размеров в формы тела и его скорости. Характер движения зависит также от свойств жидкости и определяется безразмерным числом Рейнольдса.

Если тело, движущееся в жидкости, имеет форму шара диаметром , то число Рейнольдса определяется по формуле

, (1)

а критическое значение этого числа =0,5.

Скорость v выразим, исходя из следующих соображений. На свинцовый шарик, падающий в глицерине, действуют три силы:

1. сила тяжести шарика

,

где p_св — плотность свинца; V— объем шарика;

2. выталкивающая сила, определяемая по закону Архимеда.

где —плотность глицерина;

3. сила внутреннего трения, определяемая по формуле Стокса,

,

При установившемся движении шарика в жидкости (v=const) сила тяжести шарика уравновешивается суммой выталкивающей силы и силы внутреннего трения, т. е.

,

откуда

(2)

Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно d, найдем

.

Максимальное значение диаметра d_max при котором движение остается еще ламинарным, соответствует критическому значению числа Рейнольдса Re_кp. Поэтому

.

Подставив сюда значения величин  (см. табл. 14), Re_кp, p_cв, p_гл и произведя вычисления, получим

d_max=5,29 мм.

Пример №2. Вода подается в фонтан из большого цилиндрического бака и бьет из отверстия II—II со скоростью v₂=12 м/с. Диаметр D бака равен 2 м, диаметр d сечения II—II равен 2 см. Найти: 1) скорость v₁ понижения воды в баке; 2) давление p₁, под которым вода подается в фонтан; 3) высоту h₁ уровня воды в баке и высоту h₂ струи, выходящей из фонтана.

Решение. 1. Проведем сечение I—I в баке на. уровне сечения II—II фонтана. Так как площадь S₁ сечения I—I много больше площади S₂ сечения II—II, то высоту h₁ уровня воды в баке можно считать для малого промежутка времени постоянной, а поток—установившимся. Для установившегося потока справедливо условие неразрывности струи: откуда .

П одставив в равенстве (1) значения заданных величин и произведя вычисления, найдем

м/с.

С такой же скоростью будет понижаться уровень в баке. Как видно, эта скорость очень мала по сравнению со скоростью струи.

2. Давление p1, под которым вода подается в фонтан, найдем по уравнению Бернулли. В случае горизонтальной трубки тока оно имеет вид

. (2)

Учтя, что p₂=0 (под давлением подразумевается избыточное над атмосферным давление), из уравнения (2) получим

. (3)

Так как v₁<<v₂, то из равенства (3) следует

.

После вычислений, произведенных по этой формуле, найдем

p₁=72 кПа.

3. Высоту h₁ уровня воды в баке найдем из соотношения p₁=h₁pg, откуда

h₁=p₁/(pg).

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

h₁=7,35 м.

Зная скорость v₂,с которой вода выбрасывается фонтаном, найдем высоту h₂, на которую она будет выброшена:

=7,35 м.

Подчеркнем, что высота уровня воды в баке равна высоте, на которую поднимается фонтан воды (по правилу сообщающихся сосудов). Это замечание справедливо, если пренебречь сопротивлением воздуха.