Анализ мультипликативной модели
Общий
вид мультипликативной модели
,
где
трендовое значение,
сезонная вариация,
ошибка.
Эта модель используется тогда, когда значение сезонной вариации это определенная доля трендового значения, то есть сезонная вариация увеличивается с возрастанием значений тренда.
Пример 23.
В таблице указан объем продаж за последние 11 кварталов. На основании этих данных составить прогноз объема продаж на следующие два квартала.
Квартал |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
Объем продаж |
63 |
74 |
79 |
120 |
67 |
79 |
88 |
130 |
69 |
82 |
90 |
Решение.
На первом шаге нужно исключить влияние сезонной вариации. Для этого воспользуемся методом скользящей средней. Заполним таблицу:
Квартал |
Объем продаж |
Скользящая средняя за 4 квартала |
Центрированная скользящая средняя |
Оценка сезонной вариации |
1 |
63 |
|
|
|
2 |
74 |
|
|
|
3 |
79 |
84 |
84,5 |
0,935 |
4 |
120 |
85 |
85,625 |
1,401 |
5 |
67 |
86,25 |
87,375 |
0,767 |
6 |
79 |
88,5 |
89,75 |
0,88 |
7 |
88 |
91 |
91,25 |
0,964 |
8 |
130 |
91,5 |
91,875 |
1,415 |
9 |
69 |
92,25 |
92,5 |
0,746 |
10 |
82 |
92,75 |
|
|
11 |
90 |
|
|
|
Таблица заполняется следующим образом:
1 год = 4 квартала.
Поэтому найдем среднее значение объема
продаж за 4 последовательных квартала.
Для этого нужно сложить 4 числа из 2
столбца, разделить сумму на их количество
и результат записать в третий столбец
напротив третьего слагаемого:
.
Далее заполняем весь третий столбец
аналогичным образом.
В четвертый столбец
пишем полусумму двух соседних значений
из третьего столбца. Результат пишем
напротив верхнего значения. Например,
.
Пятый столбец получается следующим образом: данные второго столбца делим на данные четвертого.
Теперь заполняем следующую таблицу:
|
Квартал |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
0,935 |
1,401 |
|
0,767 |
0,88 |
0,964 |
1,415 |
|
0,746 |
|
|
|
Среднее |
0,756 |
0,88 |
0,95 |
1,408 |
Сумма средних |
|
|
|
3,994 |
Скорректированная сезонная вариация |
0,757 |
0,881 |
0,952 |
1,41 |
Таблица заполняется следующим образом:
Оценки сезонной вариации записываем под соответствующим номером квартала в году. В каждом столбце вычисляем среднее и записываем в соответствующую строку. Далее вычисляем сумму всех средних.
Значения сезонной
вариации
это доли. Число сезонов равно 4. Поэтому
необходимо, чтобы сумма средних была
равна 4. У нас она получилась 3,994.
Следовательно, итоговые коэффициенты
сезонности нужно умножить на величину
.
Результат записан в последней строке
таблицы.
Как показывает скорректированная сезонная вариация, объем продаж в первом, втором и третьем кварталах снижается на 24,3%, 11,9% и 4,8%, соответственно. В четвертом квартале объем продаж увеличивается на 41% от соответствующего трендового значения.
Исключаем сезонную вариацию из фактических данных (проводим десезонализацию данных).
Квартал |
Объем продаж |
Сезонная вариация |
Десезонализированный объем продаж |
1 |
63 |
0,757 |
83,2 |
2 |
74 |
0,881 |
84 |
3 |
79 |
0,952 |
83 |
4 |
120 |
1,41 |
85,1 |
5 |
67 |
0,757 |
88,5 |
6 |
79 |
0,881 |
89,7 |
7 |
88 |
0,952 |
92,4 |
8 |
130 |
1,41 |
92,2 |
9 |
69 |
0,757 |
91,1 |
10 |
82 |
0,881 |
93,1 |
11 |
90 |
0,952 |
94,5 |
Четвертый столбец получается путем деления данных из второго столбца на данные третьего.
Уравнение линии
тренда имеет вид
.
Найдем коэффициенты с помощью пакета
Анализ
данных\Регрессия.
Диапазон x
это номера кварталов, диапазон y
десезонализированный объем продаж.
Получаем уравнение
.
Дадим прогноз на два следующих квартала (12 и 13):
(учитываем сезонную
вариацию для 12 квартала, равную 1,41);
(учитываем сезонную
вариацию для 13 квартала, равную 0,757).
Теперь займемся расчетом ошибок. Для этого заполним таблицу
Квартал |
Объем продаж |
Сезонная вариация |
Десезонализированный объем продаж |
Трендовое значение |
Ошибка
|
|
|
1 |
63 |
0,757 |
83,2 |
82,65 |
0,55 |
0,55 |
0,3025 |
2 |
74 |
0,881 |
84 |
83,88 |
0,12 |
0,12 |
0,0144 |
3 |
79 |
0,952 |
83 |
85,11 |
2,11 |
2,11 |
4,4521 |
4 |
120 |
1,41 |
85,1 |
86,34 |
1,24 |
1,24 |
1,5376 |
5 |
67 |
0,757 |
88,5 |
87,57 |
0,93 |
0,93 |
0,8649 |
6 |
79 |
0,881 |
89,7 |
88,8 |
0,9 |
0,9 |
0,81 |
7 |
88 |
0,952 |
92,4 |
90,03 |
2,37 |
2,37 |
5,6169 |
8 |
130 |
1,41 |
92,2 |
91,26 |
0,94 |
0,94 |
0,8836 |
9 |
69 |
0,757 |
91,1 |
92,49 |
1,39 |
1,39 |
1,9321 |
10 |
82 |
0,881 |
93,1 |
93,72 |
0,62 |
0,62 |
0,3844 |
11 |
90 |
0,952 |
94,5 |
94,95 |
0,45 |
0,45 |
0,2025 |
|
|
|
|
|
|
11,62 |
17 |
Трендовое значение можно получить с помощью пакета анализа (блок Вывод остатка, столбец Предсказанное y).
Среднее абсолютное
отклонение равно
.
Среднеквадратическая ошибка равна
.
Получили, что ошибки малы и составляют
около 1%. Это позволяет получать хорошие
краткосрочные прогнозы.
Замечание. В предыдущей аддитивной модели были получены примерно такие же ошибки, но они были признаны достаточно большими. Это связано с тем, что в аддитивной модели ошибки прибавляются, а в мультипликативной умножаются.