21. Применение принципа сжатых отображений для решения систем линейных уравнений. Метод простой итерации. Оценка погрешности

Суть итерационных методов заключаются в том, чтобы за счет последовательных приближений получить решение системы, определяемое необходимой точностью.

Эти методы характеризуются большими расчетными объемами, что не мешает им быть по своей структуре достаточно простыми. За счет предыдущих приближений мы получаем новые приближения, и, если система удовлетворяет условию сходимости, то эти приближения все меньше и меньше отличаются от аналитического решения.

Для итерационных методов можно выделить три последовательных этапа:

1) Приведение исходной системы к итерационной форме;

2) Проверка условия сходимости;

3) Решение системы одним из методов (или методом простой итерации, или методом Зейделя).

Дана система линейных алгебраических уравнений вида:

Предполагается, что диагональные коэффициенты ненулевые.

Решив 1-ое уравнение системы относительно x₁, 2-ое относительно x₂ , n-ое относительно x_n, получим:

Далее вводится некоторое начальное приближение - вектор x⁽⁰⁾ (значения задаются произвольно либо дается вектор свободных членов или нулевые значения). Подставив x⁽⁰⁾ в полученную систему находится первое приближение x⁽¹⁾, затем используя x⁽¹⁾ находится x^(2).

Данный процесс называется итерационным, условием окончания является достижение заданной точности прерывание процесса. Процесс прерывается, когда число итераций превышает заданное допустимое количество.

Итерационный процесс. Верхний индекс в скобках - номер итерации.

23. Методы экспериментальной обработки данных. Метод наименьших квадратов.

Пусть в результате измерений в процессе опыта получена таблица (1)

x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn

Нужно найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически. Можно построить интерполяционные многочлены Лагранжа или Ньютона, значения которых в узловых точках будут совпадать с соответствующими значениями функциями из таблицы. Однако совпадение значений в узлах может вовсе не означать совпадение характеров исходной интерполирующей функции. Требование неукоснительного совпадения значений в узлах выглядит тем более неоправданным, если табличные значения функции получены в результате измерений и являются сомнительными.

Поставим задачу так, чтобы с самого начала обязательно учитывался характер исходной функции, т.е. необходимо найти функцию y=F(x) заданного вида, которая в узловых точках принимает значения как можно более близкие к табличным.

Вид приближающей функции можно определить графически.

Т аких кривых может быть достаточно много. Наша задача - выбрать самый оптимальный вариант.

Рассмотрим один из распространенных методов нахождения приближающей функции.

Предположим, что приближающая функция в узловых точках принимает следующие значения:

x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn
F			…

Требование близости y₁,…,y_n к полученным ,… можно истолковать следующим образом.

Рассмотрим две точки в n-мерном пространстве:

Найдем такие параметры F(x), при которых расстояние между M и будет минимальным. Запишем это расстояние след.образом:

И потребуем, чтобы подкоренное выражение было минимальным.

Задача построения приближения функции f теперь формулируется так: для функции f, заданной таблицей (1), найти функцию F определенного вида так, чтобы сумма квадратов разностей соответствующих координат была наименьшей.

Эта задача носит название приближение функции методом наименьших квадратов.

В экспериментальной практике в качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика f часто используются следующие приближающие функции:

О чевидно, что когда вид приближающей функции установлен, задача сводится только к отысканию значений параметров.

Рассмотрим метод нахождения приближающей функции в общем виде на примере функции с тремя параметрами: y=F(a,b,c,x). Задача состоит в том, чтобы найти a,b,c. В каждой точке x_i f(x_i,a,b,c)= .

Сумма квадратов разности соответствующих значений f и F будет иметь вид:

(4)

Эта сумма является функцией Ф(а,b,c) трех переменных (параметров a,b и c). Задача сводится к отысканию ее минимума. Используем необходимое условие экстремума:

Получаем систему для определения неизвестных параметров a, b, c.

                          (5)

Решив эту систему трех уравнений с тремя неизвестными относительно параметров a, b, c, мы и получим конкретный вид искомой функции F(x, a, b, c). Как видно из рассмотренного примера, изменение количества параметров не приведет к искажению сущности самого подхода, а выразится лишь в изменении количества уравнений в системе (5).

Естественно ожидать, что значения найденной функции F(x, a, b, c) в точках х₁, x₂, ..., x_n, будут отличаться от табличных значений y₁, y₂, ..., y_n. Значения разностей 

y_i-F(x_i,a,b,c)=ε_i называются отклонениями.

Сумму квадратов отклонений находится по формуле  , которая в соответствии с методом наименьших квадратов для заданного вида приближающей функции (и найденных значений параметров) должна быть наименьшей. Из двух разных приближений одной и той же табличной функции, следуя методу наименьших квадратов, лучшим нужно считать то, для которого сумма (4) имеет наименьшее значение.