18. Принцип сжатых отображений. Теоремы о достаточных условиях сходимости итерационной последовательности.
Если на множестве X задан оператор, то это записывается y=Ax, где А – символ оператора.
Если существует положительно число 0<α<1 , такое что для любых двух точек х и у пространства имеет место соотношение ρ(Ах,Ау)≤αρ(x,y), т.е. расстояние между образами≤расстоянию между прообразами, то оператор А называется оператором сжатия, а число α – коэффициентом сжатия.
Теорема о неподвижной точке – принцип сжатых отображений.
Если оператор сжатия А переводит точки n-мерного метрического пространства в точки того же пространства, то существует точка х* - неподвижная точка оператора, притом единственная. Итерационная последовательность, построенная для данного оператора с любым начальным приближением , сходится к х*.
Теорема
1 (1-е достаточное условие):
если функция
определена и дифференцируема на множестве
,
причем существует
такое, что
,
то уравнение
имеет решение, притом единственное. Это
решение может быть получено методом
последовательных приближений, причем
за начальное приближение можно взять
любое число
.
Доказательство:
Функцию
можно рассмотреть, как оператор,
определенный в пространстве
с образом из того же пространства.
Покажем, что
является оператором сжатия. Возьмем 2
произвольные точки этого пространства
и воспользуемся теоремой Лагранжа о
конечных приращениях:
Т.к.
,
то
.
Т.о.
при условии
,
является оператором сжатия. В силу
теоремы о сжатых отображениях оператор
имеет неподвижную точку
,
т.е.
.
Эта точка единственна. Последнее
равенство означает, что уравнение
имеет единственное решение, которое
может быть получено, как предел
итерационной последовательности.
Теорема
2 (2-е
достаточное условие):
Если
определена и дифференцируема на [a;b],
все ее значения
также
,
существует
такое, что
,
то итерационная последовательность
этой функции с любым начальным приближением
сходится и ее предел есть решение
уравнения
.
Это уравнение на
единственно.
Доказательство:
Отрезок
- замкнутое подмножество множества
.
(
,
).
Если в этом подмножестве ввести метрику
так же, как и во множестве
,
то отрезок можно рассматривать, как
метрическое пространство. Дальнейший
ход рассуждений такой же, как и в теореме
1.
19. Принцип сжатых отображений. Правило утроенного отрезка.
Если на множестве X задан оператор, то это записывается y=Ax, где А – символ оператора.
Если существует положительно число 0<α<1 , такое что для любых двух точек х и у пространства имеет место соотношение ρ(Ах,Ау)≤αρ(x,y), т.е. расстояние между образами≤расстоянию между прообразами, то оператор А называется оператором сжатия, а число α – коэффициентом сжатия.
Теорема о неподвижной точке – принцип сжатых отображений.
Если оператор сжатия А переводит точки n-мерного метрического пространства в точки того же пространства, то существует точка х* - неподвижная точка оператора, притом единственная. Итерационная последовательность, построенная для данного оператора с любым начальным приближением , сходится к х*.
Теорема (2-е достаточное условие): Если
определена и дифференцируема на [a;b];
все ее значения также ;
существует такое, что ,
то итерационная последовательность этой функции с любым начальным приближением сходится и ее предел есть решение уравнения . Это уравнение на единственно.
Будем
исследовать уравнение
на промежутке
,
где h=|b-a|
– длина промежутка.
Теорема (правило утроенного отрезка). Если
1)
уравнение
имеет единственный корень на промежутке
длина
;
2)
определена и дифференцируема на
и все ее значения попадают на этот
промежуток;
3)
имеет место неравенство
;
то
итерационная последовательность с
любым начальным приближением
сходится, и ее предел является корнем
.
Корень на
единичный и для k-го
члена итерационной последовательности
применимы стандартные оценки погрешности.