8. Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений. Метод квадратных корней
Численные методы СЛАУ можно разделить на точные и приближенные.
Метод решения системы является точным, если он дает принципиальную возможность получить решение системы после конечного числа алгебраических операций. К ним относятся метод Крамера, подстановки, метод последовательного исключения неизвестных и его модификации.
Приближенными методами являются те методы, которые позволяют получить только приближенные решения, причем количество итераций зависит от точности. К ним относятся метод простой итерации, метод Зейделя, метод ортогонализации и др.
Метод квадратных корней
Если
матрица коэффициентов при неизвестных
СЛАУ симметрическая, то метод Гаусса
значительно упрощается(
).
Пусть
дана система уравнений
,
где A
может быть
представлена в виде двух треугольных
транспонированных матриц, где Т - верхняя,
а
-
нижняя треугольная матрица.
Тогда
система принимает следующий вид
,
где
Решение исходной системы последовательно сходится к решению и
=
;
;
;
;
и т.д.
;
;
выражаем
;
;
выражаем
;
;
;
;
;
;
9. Численные методы интерполирования функций. Постановка задачи. Формула Лагранжа для неравноотстоящих узлов
В практических задачах часто возникает необходимость представлять сложную аналитическую функцию более простой, либо использовать функции, заданные таблично. Необходимо для дальнейшего исследования представить табличную функцию в виде аналитической.
Существуют различные способы получения таких функций. Один из них интерполирование. В общем виде, задачи интерполирования формулируются так:
Пусть функция y=f(x) задана в (n+1) точке x0,x1,…,xn своими значениями y0,y1,…,yn, то есть y0=f(x0), …, yn=f(xn).
Требуется
подобрать достаточно простую функцию
,
удовлетворяющую следующим условиям:
В точке x0,x1,…,xn, значения функции должны совпадать со значениями данной функции:
,
k=0,1,…,n.Во всех остальных точках из области определения, выполняется приближенное равенство:
.
Функция называется интерполирующей, процесс ее построения - интерполированием, точки x0,x1,…,xn - узлами интерполирования. Интерполирующая функция подбирается из определенного класса функций. Часто в качестве такой функции берется многочлен n-й степени, процесс построения такого многочлена - параболическое интерполирование.
Пусть функция y=f(x) задана в (n+1) узле интерполирования своими значениями.
Многочлен
называется интерполяционным многочленом Лагранжа.
Интерполяционный многочлен для n=4:
Как проверить, что это многочлен интерполяционный? По определению (первое условие).
10.Таблица конечных разностей. Свойства конечных разностей
Пусть функция y=f(xi) задана в (n+1) точке. Точки x0, x1, … - равноотстоящие, т.е. xi=x0+ih, где i=0..n, h=(b-a)/n.
Конечными разностями 1-го порядка называют числа, равные приращениям функции, т.е.
где k=0..n-1.
Конечными разностями второго порядка называют числа, равные приращениям конечных разностей 1-го порядка, т.е.
где k=0..n-2.
В общем случае
конечные разности s-го
порядка называют числа, равные
приращению конечных разностей (s-1)
порядка, т.е.
В
результате вычислений получаем таблицу
следующего вида. Верхняя диагональ
используется для построения первой
интерполяционной формулы Ньютона.
Нижняя – для второй интерполяционной
формулы Ньютона.
Рассмотрим свойства конечных разностей:
С – постоянная,
Это равенство показывает, что конечной разностью многочлена n-ой степени будет многочлен (n-1) степени.
Выясним, каким образом связаны значения конечных разностей и значения функции.
По определению
конечных разностей первого порядка
Следовательно,
преобразуется к следующему виду:
Продолжая процесс, получим
Существует и обратная зависимость функции от конечных разностей.
