20. Геометрическая интерпретация сходимости итерационной последовательности.

Доказано, что достаточным условием сходимости итерационной последовательности к корню уравнения является выполнение следующего соотношения: . Рассмотрим 2 случая: 1) возрастает; 2) убывает.

1) Пусть .

На оси абсцисс произвольно выберем точку и проведем прямую, параллельно OY до пересечения с графиком . Через т. пересечения проведем прямую, параллельно оси OX до пересечения с . . Проведем через прямую, параллельно оси OY до пересечения с . Через точку пересечения параллельно оси OX – до пересечения с . Проекция этой точку на ось OX есть ; ; . И т.д. Продолжая алгоритм, получим ломаную, звенья которой попеременно параллельны то оси OX, то OY. Если выбрано левее точки пересечения графиков, то приходится подниматься по «лестнице» вверх, в противном случае опускаться вниз.

2) Пусть .

Функция убывает, но не очень быстро, т.к. . Воспользуемся тем же алгоритмом, что и в п. 1. В случае отрицательной производной ломаная, построенная по алгоритму 1 представляет собой спираль, кот. Закручивается по мере приближения к т. пересечения графиков.

Оценка погрешности в случае убываний функции.

Рассматривая чертеж, убеждаемся, что в случае убываний функции корень уравнения всегда находится между 2-мя соседними приближениями. Теорема 4: если для ф-и выполнены условия по крайней мере одной из т-м 1, 2, 3, причем , то корень уравнения всегда заключен между любыми 2-мя сосед-ми членами итераций послед. Эта теорема дает простейшее правило оценки погрешности k-го приближения: . Если необходимо вычислить корень уравнения с точностью , то вычисление следует прекратить, как только . Тогда .

22. Применение принципа сжатых отображений для решения систем линейных уравнений. Метод Зейделя. Оценка погрешности.

Суть итерационных методов заключаются в том, чтобы за счет последовательных приближений получить решение системы, определяемое необходимой точностью.

Эти методы характеризуются большими расчетными объемами, что не мешает им быть по своей структуре достаточно простыми. За счет предыдущих приближений мы получаем новые приближения, и, если система удовлетворяет условию сходимости, то эти приближения все меньше и меньше отличаются от аналитического решения.

Для итерационных методов можно выделить три последовательных этапа:

1. Приведение исходной системы к итерационной форме;

2. Проверка условия сходимости;

3. Решение системы одним из методов (или методом простой итерации, или методом Зейделя).

Итерационный метод, модификация метода простой итерации. Изменением является то, что при вычислении (k+1) приближения неизвестной x_i используются уже вычисленные ранее приближения x₁,x₂,. . .,x_i-1, благодаря чему метод Зейделя сходится быстрее метода простой итерации.

Дана система линейных алгебраических уравнений вида:

Предполагается, что диагональные коэффициенты ненулевые.

Решив 1-ое уравнение системы относительно x₁, 2-ое относительно x₂ , n-ое относительно x_n, получим:

Далее вводится некоторое начальное приближение - вектор x⁽⁰⁾ (значения задаются произвольно либо дается вектор свободных членов или нулевые значения). Подставив x⁽⁰⁾ в полученную систему находится первое приближение x⁽¹⁾, затем используя x⁽¹⁾ находится x^(2).

Данный процесс называется итерационным, условием окончания является достижение заданной точности прерывание процесса. Процесс прерывается, когда число итераций превышает заданное допустимое количество.

Итерационный процесс. Верхний индекс в скобках – номер итерации. Учитываются уже вычисленные ранее приближения.

В итоге получается последовательность приближений , и если эта последовательность имеет предел, то этот предел является решением.