3. Численные методы решения нелинейных уравнений. Постановка задачи. Уточнение корня методом половинного деления

В общем случае нелин. уравнения с одной переменной можно записать так: F(x)=0 (1), где F(x) определена и непрерывна на некотором отрезке [a,b]. Всякое число α, обращающее F(x) в 0, называется корнем уравнения (1).

Поскольку подавляющее большинство нелинейных уравнений с одной переменной не решаются путем аналитических преобразований (т.е. точными методами), на практике их решают только численными методами. Решить такое уравнение означает: выяснить, имеет ли оно корни, сколько корней и уточнить корни с заданной степенью точности.

Уточнение корня методом половинного деления

Дано нелинейное уравнение f(x)=0. Найти корень уравнения, принадлежащий отрезку [a,b], с заданной точностью ξ.

Для уточнения корня методом половинного деления последовательно осуществляем следующие операции:

1. Делим отрезок [a,b] пополам: t –середина отрезка [a,b]

2. В качестве нового интервала изоляции принимаем ту половину интервала, на концах которого функция имеет разные знаки

Для этого:

a ) Вычисляем значение функции f(x) в точках a и t.

b) Проверяем: если f(a)f(t) < 0, то корень находится в левой половине интервала [a,b] (Рисунок а). Тогда отбрасываем правую половину интервала и делаем присвоение b=t.

c) Если f(a)f(t) < 0 не выполняется, то корень находится в правой половине интервала [a,b] (Рисунок б). Тогда отбрасываем левую половину и делаем присвоение a=t. В обоих случаях мы получим новый интервал [a,b] в 2 раза меньший предыдущего.

3. Процесс, начиная с пункта 1, циклически повторяем до тех пор, пока длина интервала [a,b] не станет равной либо меньше заданной точности, т.е. |b-a|≤ ξ

4. Численные методы решения нелинейных уравнений. Постановка задачи. Уточнение корня методом хорд

В общем случае нелин. уравнения с одной переменной можно записать так: F(x)=0 (1), где F(x) определена и непрерывна на некотором отрезке [a,b]. Всякое число α, обращающее F(x) в 0, называется корнем уравнения (1).

Метод хорд

Пусть корень уравнения (1) отделен на отрезке [a,b]. Требуется уточнить корень х* с точностью ε>0.

Метод основан на замене функции f(x) на каждом шаге поиска хордой, проходящей через точки с координатами (a; F(a)), (b; F(b)).

Обозначим точку пересечения хорды с осью ОХ с₁ и запишем уравнение хорды как уравнение прямой

Так как точка с координатами (c₁; 0) принадлежит хорде, то ее координаты удовлетворяют уравнению хорды

Отсюда выражаем с₁, получаем

Полученная формула называется формулой метода хорд, а с₁ – первым приближением к х*. Очевидно, что теперь корень уравнения (1) находится на отрезке [c₁;b]. Продолжая указанный выше процесс, получаем рекуррентную формулу метода хорд:

П оследовательность с₁,с₂,…,с_n,… сходится к х*, если функция F(x) имеет знакопостоянные первую и вторую производные на отрезке [a,b].

В данной серии формул метода хорд приближение строится с конца а, при этом конец b остается неподвижен. Однако может возникнуть ситуация, когда неподвижным является конец а, а приближение строится с b. Тогда формулы будут иметь следующий вид:

…

Очевидно, что в формулах метода хорд неподвижным является тот конец, в котором знаки функции  и ее второй производной совпадают на промежутке.

Вычисление следует заканчивать, как только расстояние между двумя соседними приближениями станет <ε, т.е. |c_n-c_n-1|≤ε.