11.Численные методы интерполирования функций. Постановка задачи. Первая формула Ньютона для равноотстоящих узлов

В практических задачах часто возникает необходимость представлять сложную аналитическую функцию более простой, либо использовать функции, заданные таблично. Необходимо для дальнейшего исследования представить табличную функцию в виде аналитической.

Существуют различные способы получения таких функций. Один из них интерполирование. В общем виде, задачи интерполирования формулируются так:

Пусть функция y=f(x) задана в (n+1) точке x₀,x_1­,…,x_n своими значениями y₀,y₁,…,y_n, то есть y₀=f(x₀), …, y_n=f(x_n).

Требуется подобрать достаточно простую функцию , удовлетворяющую следующим условиям:

1. В точке x₀,x_1­,…,x_n, значения функции должны совпадать со значениями данной функции: , k=0,1,…,n.

2. Во всех остальных точках из области определения, выполняется приближенное равенство: .

Функция называется интерполирующей, процесс ее построения - интерполированием, точки x₀,x_1­,…,x_n - узлами интерполирования. Интерполирующая функция подбирается из определенного класса функций. Часто в качестве такой функции берется многочлен n-й степени, процесс построения такого многочлена - параболическое интерполирование.

Пусть для функции y=f(x) заданы значения y_i=f(x_i)  для равноотстоящих значений независимой переменной:  x_i=x₀+ih, где i=0..n, h=(b-a)/n, h - шаг интерполяции. Требуется подобрать полином P_n(x) сте­пени не выше n, принимающий в точках  x_i значения P_n(x_i)=y_i.                                                           

Первой интерполяционной формулой Ньютона называют многочлен вида

Легко видеть, что этот многочлен полностью удовлетворяет требованиям поставленной задачи. Действительно, во-первых, степень полинома не выше n, во-вторых,

На практике чаще 1-ый интерполяционный многочлен Ньютона используют в другом виде. Обозначим , тогда

Абсолютную погрешность 1-ой формулы можно оценить следующим образом:

Вторым интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен вида:

На практике удобней пользоваться другой формулой:

Обозначим , тогда =t+1 , = t+2… =t+n-1, тогда многочлен примет вид:

.

12. Постановка задачи численного интегрирования. Формулы прямоугольников. Двойной пересчет.

При решении многих задач возникает необходимость вычисления определенных интегралов. Пусть требуется вычислить интеграл. Если для подынтегральной функции f(x) найдена первообразная F(x), то интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница: .

Однако, часто не бывает возможности использовать эту формулу, например, в следующих случаях:

1. Если первообразная функция F(x) не выражается в конечном виде через элементарные функции, так называемые не берущиеся интегралы:

2. Если первообразная функция F(x) имеет настолько сложную аналитическую запись, что ее использование не целесообразно.

3. Если подынтегральная функция f(x) задана графически или таблично.

Во всех этих случаях возникает необходимость разработки методов, позволяющих вычислять определенные интегралы приближенно. Эти формулы для вычисления приближенных интегралов называются квадратными.

Вывод формул прямоугольников основан на замене определенного интеграла интегральной суммы. Из курса мат анализа известно, что , где - интегральная сумма для функции f(x) на промежутке [a;b]. Точка - производная точка, принадлежащая отрезку .

Если отрезок [a;b] разбить на n - равных частей, тогда любое . В этом случае, h - шаг квадратурной формулы, при этом условии, .

Если в качестве точек взять левые концы частичных отрезков, то есть , где , то получим:

Эта формула называется формулой левых прямоугольников.

Если в качестве точек взять правые концы частичных отрезков, то получим частичный интеграл.

- формулу правых прямоугольников.

Очевидно, что формула прямоугольников тем точнее, чем больше h.

Абсолютная погрешность формулы прямоугольников оценивается следующим образом: где М₁ – максимум модуля от первой производной подынтегральной функции на отрезке [a,b].