13. Постановка задачи численного интегрирования. Формула трапеций.

При решении многих задач возникает необходимость вычисления определенных интегралов. Пусть требуется вычислить интеграл. Если для подынтегральной функции f(x) найдена первообразная F(x), то интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница: .

Однако, часто не бывает возможности использовать эту формулу, например, в следующих случаях:

1. Если первообразная функция F(x) не выражается в конечном виде через элементарные функции, так называемые не берущиеся интегралы:

2. Если первообразная функция F(x) имеет настолько сложную аналитическую запись, что ее использование не целесообразно.

3. Если подынтегральная функция f(x) задана графически или таблично.

Во всех этих случаях возникает необходимость разработки методов, позволяющих вычислять определенные интегралы приближенно. Эти формулы для вычисления приближенных интегралов называются квадратными.

Формулы трапеций

Пусть требуется вычислить интеграл . Обозначим . Произведем замену подынтегральной функции f(x) по формуле линейного интерполирования: .

В этом случае, . При этом получим: .

, тогда при , t=0; x= , t=1, тогда

.

Полученная формула называется формулой трапеции.

Геометрический смысл формулы трапеции заключается в том, что на промежутке [a;b], криволинейная трапеция заменяется прямолинейной трапецией вследствие замены подынтегральной функции отрезком прямой по формуле линейного интерполирования.

Для более точного вычисления определенного интеграла разбивают отрезок [a;b] на n - равных частей точками и применяют формулу трапеции на каждом из частичных отрезков, то есть интеграл

Суммируя левые и правые части приближенных равенств, получаем:

- обобщенная формула трапеции.

Абсолютная погрешность формулы трапеций оценивается следующим образом: , где – максимум модуля второй производной от подынтегральной функции на [a,b].

14. Постановка задачи численного интегрирования. Формула Симпсона

При решении многих задач возникает необходимость вычисления определенных интегралов. Пусть требуется вычислить интеграл. Если для подынтегральной функции f(x) найдена первообразная F(x), то интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница: .

Однако, часто не бывает возможности использовать эту формулу, например, в следующих случаях:

1. Если первообразная функция F(x) не выражается в конечном виде через элементарные функции, так называемые не берущиеся интегралы:

2. Если первообразная функция F(x) имеет настолько сложную аналитическую запись, что ее использование не целесообразно.

3. Если подынтегральная функция f(x) задана графически или таблично.

Во всех этих случаях возникает необходимость разработки методов, позволяющих вычислять определенные интегралы приближенно. Эти формулы для вычисления приближенных интегралов называются квадратными.

Формула Симпсона или парабол.

Пусть требуется вычислить интеграл . Разобьем промежуток [a;b] на 2 равных отрезка, точками : ; .

Заменим подынтегральную функцию .

, тогда при , t=0; x= , t=2, тогда

Полученная формула называется формулой параболы или Симпсона.

Геометрический смысл формулы Симпсона состоит в следующем: на промежутке [a;b] кривая y=f(x) заменяется параболой графиком интерполяционного многочлена.

Для получения более точного результата, необходимо промежуток [a;b] разбить на четное число равных частей, точками и применить к каждой паре смежных отрезков формулу парабол:

И применить к каждой паре смежных отрезков формулу Симпсона. Суммируя левые и правые части приближенных формул, получаем:

Абсолютная погрешность формулы Симпсона оценивается следующим образом: , где – максимум модуля четвертой производной от подынтегральной функции на [a,b].

Очевидно, что оценка погрешностей квадратурных формул связана с нахождением производной и ее максимального значения на промежутке, и эта задача в вычислительной математике не всегда имеет адекватное решении. Поэтому погрешность квадратурных формул оценивается на практике с помощью двойного пересчета. Вычислим интеграл для n разбиений

И для 2n разбиений

Задача считается решенной, если

15. N-мерное метрическое пространство, расстояние между точками.

Упорядоченную совокупность n действительных чисел называют точкой n-мерного пространства. Множество всех точек называют n-мерным арифметическим пространством.

Точку n-мерного арифметического пространства с фиксированными координатами будем обозначать

Пусть заданы две произвольные точки n-мерного арифметического пространства:

. Определим расстояние между этими точками. Способ введения расстояния между точками n-мерного арифметического пространства называется метрикой пространства.

Расстояние между двумя точками вводится чаще следующими тремя метриками:

(x,y)=max(|x₁-y₁|; |x₂-y₂|;…;|x_n-y_n|)

(x,y)=|x₁-y₁|+|x₂-y₂|+…+|x_n-y_n|)

(x,y)=

n-мерное арифметическое пространство с соответствующей метрикой обозначается , , . Очевидно, что расстояние между точками в различных метриках различны. Совпадают эти расстояния только при n=1.