1. Вывод формул для косвенных измерений скорости шарика до и после удара, силы удара и коэффициента восстановления

В момент удара на шар массой действует сила тяжести со стороны Земли , сила реакции со стороны нити , средняя сила удара со стороны тела . На основании теоремы об изменении импульса материальной точки

, (5.1)

где , – векторы скоростей шара до и после удара; – длительность удара.

После проектирования уравнения (5.1) на горизонтальную ось определим среднюю силу удара:

. (5.2)

Скорости шарика и определяются на основании закона сохранения и превращения энергии для системы тел «шарик-плита». Поскольку внешняя сила перпендикулярна перемещению и нить нерастяжима, то эта сила работу не совершает. Внешняя сила – потенциальна и ее работа при движении шарика от начального положения до момента соударения с плитой равна . Уравнение баланса энергии можно записать в виде:

. (5.3)

Из рис. 5.1 следует, что

. (5.4)

Тогда из уравнения (5.3) с учетом (5.4) получим значение начальной , и конечной скоростей шарика:

, (5.5)

где и – углы отклонения шара до и после соударения.

Определив скорости шарика до удара и после удара , можно определить коэффициент восстановления:

. (5.6)

Для более полной и детальной информации следует обратиться к литературе, например [1-4].

2. Вывод формул для расчета погрешностей косвенных измерений

В работе определяют скорости шарика до удара и после удара о металлическую плитку, время удара , среднюю силу удара , коэффициент восстановления для различных начальных углов .

Исходными данными к работе являются

1. Длина нити , ,

2. Масса шарика , ,

3. Ускорение свободного падения , .

Приборные погрешности берутся равными:

1. Для цифрового измерителя времени ,

2. Для шкалы отсчёта углов .

Для каждого заданного угла измеряем раз угол отскока шарика после удара и – время удара. После предварительного исследования результатов опыта на промахи (см. (12.3) гл.12) находим среднее выборочное значение:

,

.

Затем по формуле (5.5) , (5.2) и (5.6) находим значение скорости до и после удара, среднюю силу удара и коэффициент восстановления:

,

,

_,

.

Выбираем общую для всех результатов доверительную вероятность и для неё находим коэффициенты Стьюдента и по табл. 12.3 (см. гл. 12).

Погрешность измерения начального угла отклонения берем равной . Тогда относительную погрешность измерения угла можно определить

.

Погрешность измерения начального угла отскока определяем как погрешность многократных измерений. Для этого по формуле 12.8 (см. гл. 12) находим среднее квадратичное отклонение

,

а затем по (12.9) (см. гл. 12) определяем абсолютную погрешность :

.

C округлением результата можно записать

, , .

Аналогично вычисляют погрешности времени удара:

,

,

, , .

Расчёт погрешностей косвенных значений производится согласно гл.12.

В формулу (5.5) величины , , входят как сомножители, поэтому удобно воспользоваться вторым способом метода, основанного на применении формулы полного дифференциала. Логарифмируем выражение для скорости :

_.

Берем частные производные по , , и подставляем в формулу (12.17) гл. 12. После несложных математических преобразований получаем

_.

где выражено в радианах, а , уже найдены ранее. Находим абсолютную погрешность

,

и записываем результат

, , .

Аналогично находим погрешности скорости :

,

где выражено в радианах, определяем и записываем результат

, , .

Далее исходя из формул (5.6) и (5.2) аналогично вычисляем погрешность коэффициента восстановления

_,

_где и – уже найдены ранее, _,

, , ;

и средней силы удара

_,

где уже найдены, а определяем следующим образом:

,

где , а и уже найдены.

Далее находим абсолютную погрешность

,

и записываем результат

, , .

Такую погрешность обработки экспериментальных данных следует повторить для различных углов (по заданию преподавателя)