Методика эксперимента и вывод рабочих формул
1. Определение момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления
Для расчета движения механической системы «маятник-груз» применимы уравнение динамики поступательного движения для груза, закрепленного на нити, и уравнение динамики вращательного движения для маятника.
Груз массой движется с ускорением под действием результирующей силы тяжести и силы натяжения нити (рис.8.2). Для груза второй закон Ньютона в проекции на направление движения запишется в виде:
. (8.1)
Рис.8.2
Сила
натяжения передается нитью от груза к
шкиву вращающегося маятника. Если
предположить, что нить невесомая, то на
шкив маятника действует сила
,
равная по величине
и противоположная ей по направлению.
Сила натяжения создает вращательный
момент
относительно горизонтальной оси,
проходящей через точку
,
направленный вдоль этой оси «от нас» и
приводящий в движение маятник Обербека.
Величина этого момента равна
,
где
– радиус шкива, на который намотана
нить (
– диаметр шкива).
Момент силы сопротивления относительно оси вращения направлен в противоположную сторону по отношению к вращательному моменту (то есть «к нам»).
Для маятника основной закон динамики вращательного движения запишется в виде:
,
где
– результирующий момент сил; действующих
на маятник, относительно оси вращения;
– момент инерции маятника относительно
этой оси;
– угловое ускорение.
В скалярной форме (в проекции на ось вращения, проходящую через точку и направленную «от нас») это уравнение имеет вид:
. (8.2)
Используя кинематическую связь линейного и углового ускорений:
,
а также уравнение движения груза при нулевой начальной скорости:
,
выразим через измеряемые величины и :
. (8.3)
Решим систему уравнений (8.1) и (8.2), для чего умножим (8.1) на и сложим с (8.2):
.
Выражаем момент инерции маятника Обербека:
. (8.4)
Все
величины, кроме
,
входящие в это уравнение, известны.
Поставим задачу экспериментального
определения
.
Пусть J – момент инерции маятника Обербека без грузов. Из (8.4) следует, что
. (8.5)
В
условиях эксперимента
,
что позволяет считать зависимость (m)
линейной.
Эту
зависимость можно использовать для
экспериментальной оценки величины
.
Действительно, если полученную
экспериментально зависимость
экстраполировать до пересечения с осью
абсцисс, то есть до точки
на этой оси, для которой, согласно (8.5),
выполняется равенство
,
то можно определить как
. (8.6)
Для определения момента инерции маятника J воспользуемся соотношением (8.4), где величина предварительно определена из измерений (m) и формулы (8.6).
Подставив выражения (8.3) и (8.6) в (8.4), получаем рабочую формулу для определения момента инерции маятника
.
Для
используемого в работе маятника Обербека
справедливо неравенство
.
Учитывая это, получаем
.
Для расчетов удобно представить момент инерции в виде:
, (8.7)
где
.
Таким образом, для определения момента инерции маятника необходимо измерить время опускания груза массой на расстояние .