6.4 Математическое обеспечение решения задачи
Задача получения зависимости при действии m факторов (xi, 1=i, m) на выходную величину (y) исследуемого процесса по выбранной тематике сводится к нахождению коэффициентов регрессионного уравнения вида:
y=a0*x0+a1*x1+…+am*xm. (9)
На основе использования метода наименьших квадратов система нормальных уравнений, каждое из которых характеризует наблюдение за входными и выходными величинами, принимает следующий вид описанный работе [27]:
;
(10)
Одним из наиболее распространенных методов решения системы таких уравнений является метод последовательного исключения неизвестных – метод Гаусса. Он основан на преобразовании системы уравнений (матрицы коэффициентов при параметрах) к треугольному виду, удобному для решения [27]. В случае наличия нескольких факторов xj, воздействующих на выходную переменную, трудоемкость расчетов резко возрастает, поэтому удобнее решать такую систему в матричной форме.
В зависимости от числа наблюдений n, имеющихся значений входных факторов xj (0…n) и выходного yj (0…n) имеем матрицы X и Y:
x01
x11
…….
xm1
y1
X = x02 x12 ……. x m2 , Y= y2 (11)
…………………… …
x0n x1n ……. xmn yn
Вводится матрица-столбец коэффициентов aj и транспонированную к X:
a0 x01 x02 … xmn
A = a1 , XT = x11 x12 … xmn (12)
….. …………………...
am xm1 xm2 … xmn
Система нормальных уравнений (9) для определения коэффициентов aj в матричной форме имеет вид, описанный в работе [27]:
X2*X*A=X2*Y. (13)
Вектор-столбец коэффициентов A определяется как:
A=(XT*X)-1*XT*Y, (14)
с00 c01 … c0m
c10 c11 … c1m (15)
(XT · X)-1 = …………………..
cm0 cm1 … cmm
представляет собой матрицу, обратную XT*X. Ее элементы ckj(k=0…m, j=0…m) определяются по формуле:
ckj=Dkj / det (X2*X), (16)
где Dkj – алгебраическое дополнение элемента на пересечении к-ой строки и j-го столбца матрицы X2*X, элемента Σxki*xji;
det(XT*X) – определитель матрицы XT*X.
Процедура расчета при помощи представленных в пункте формул студентом проводится опосредственно в процессе использованного программного обеспечения.