Дополнение 3. Критерии согласия

Часто функция распределения случайной величины бывает заранее неизвестна, и возникает необходимость ее определения по эмпирическим данным. Во многих случаях из некоторых дополнительных соображений могут быть сделаны предположения о виде функции распределения F(x). В эконометрике часто используют нормальное распределение, однако в некоторых случаях может возникнуть вопрос о законности использования нормального распределения в том или ином конкретном случае. В таких случаях нужно использовать статистические критерии, которые обосновывали тот или иной выбор распределения.

Любое предположение о виде распределения называется статистической гипотезой и математически выражается соотношением {F(x)H₀}, где H₀ – какое-то множество функций распределения. Если множество H₀ состоит из одного элемента, то гипотеза называется простой. При статистической проверке основной гипотезы H₀ формулируют также альтернативную гипотезу {F(x)H₁}, где H₁ –множество функций распределения, не пересекающееся с множеством H₀. Если H₁ – множество всех F(x), не входящих в H₀, то это множество обычно вообще не упоминают. Множества H₀ и H₁ в каждой задаче определяются логическими, физическими и другими условиями задачи.

Рассмотрим случай простой гипотезы {F(x)=F^теор(x)}. Пусть X₁, X₂, …, X_n – случайная выборка случайной величины X, и пусть – эмпирическая функция распределения. Определим некоторую неотрицательную меру D отклонения эмпирической функции распределения от предполагаемой теоретической функции распределения F^теор(x). Величину D=D{F(x),F^теор(x)} можно определить многими способами, в соответствии с которыми получаются различные критерии для проверки интересующей нас гипотезы: критерий хи-квадрат Пирсона, Колмогорова, омега-квадрат Мизеса, Смирнова и другие.

Наиболее распространенным является критерий, введенный К. Пирсоном, приводящий к распределению ² (²–критерий Пирсона). Рассмотрим этот критерий. Для этого разобьем множество значений случайной величины X на r интервалов S₁, S₂, … ,S_r без общих точек. Пусть p_i – вероятность того, что величина X принадлежит интервалу S_i; n_i – количество величин из числа наблюдаемых X₂, …, X_n, принадлежащих интервалу S_i. За меру D отклонения эмпирической функции распределения от теоретической F^теор(x) принимают величину

. (3.32)

Величина ² случайная и нас интересует ее распределение в предположении, что принятая гипотеза верна, т.е. F(x)=F^теор(x). Ответ на этот вопрос дает теорема Пирсона:

Теорема. Какова бы ни была функция распределения F^теор(x) случайной величины X, при n распределение величины ² стремится к ²–распределению с (r–1) степенями свободы.

Полностью определенное гипотетическое теоретическое распределение встречается на практике довольно редко. Гораздо чаще теоретическое распределение F^теор(x;₁,…,_k) содержит некоторые неизвестные параметры ₁,…,_k, значение которых приходится оценивать по выборке. В результате критерий Пирсона будет иметь вид

. (3.33)

Однако воспользоваться теоремой Пирсона в этом случае уже нельзя, поскольку значения ₁,…,_k неизвестны. Если же в приведенном выражении величины ₁,…,_k заменить их оценками по выборке, то величины p_i(₁,…,_k) уже будут случайными величинами, поэтому и в этом случае применять теорему Пирсона нельзя.

Отметим, что при n распределение величины ², если параметры ₁,…,_k оцениваются по методу максимального правдоподобия, является распределением ² с (r–1-k) степенями свободы (теорема Фишера). Таким образом, наличие оцениваемых по выборке параметров (если оценка производится по методу максимального правдоподобия) не меняет характера предельного распределения величины ², а лишь уменьшает число степеней свободы этого предельного распределения настолько единиц, каково число оцениваемых параметров. В этом состоит одно из достоинств критерия Пирсона.

Отметим, что критерий Пирсона применяется только при достаточно больших выборках (n50) и достаточно больших частотах (n_i5). Если последнее условие не выполняется для какого-либо интервала вариационного ряда, то его объединяют с соседним интервалом, соответственно уменьшая общее число интервалов.

Схема применения критерия согласия Пирсона проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения:

1. Вычисляются параметры предполагаемого закона распределения.

2. Вычисляются теоретические частоты .

3. Вычисляют величину .

4. По вычисленному числу степеней свободы =r–1–k, где r – число интервалов выборки, k – число параметров распределения и по выбранному уровню значимости  по таблицам распределения ², находят .

5. Если , то нет оснований отклонять нулевую гипотезу, если – нулевая гипотеза отвергается.

Пример 3.20. По распределению, заданному таблицей (таб. 3.9), выяснить при помощи критерия Пирсона можно ли на уровне значимости =0,05 считать, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение.

Решение. В предположении, что имеет место нормальное распределение, то можно оценить ее два параметра

, .

Таблица 3.9

i	xi–xi+1	ni
1	6,67-6,69	2	–0,5	–0,43603	0,06397	12,794	1,383
2	6,69-6,71	15
3	6,71-6,73	17	–0,43603	–0,31202	0,12402	24,803	2,455
4	6,73-6,75	44	–0,31202	–0,09809	0,21393	42,785	0,035
5	6,75-6,77	52	–0,09809	0,15119	0,24928	49,856	0,092
6	6,77-6,79	44	0,15119	0,34743	0,19624	39,248	0,575
7	6,79-6,81	14	0,34743	0,45179	0,10435	20,871	2,262
8	6,81-6,83	11
9	6,83-6,85	1	0,45179	0,5	0,04821	9,643	0,576
		200			1,0	200	7,378

Из таблицы видно, что . Теперь найдем критическое значение . Поскольку у предполагаемой модели были неизвестны оба параметра, поэтому k=2; при расчете критерия использовались семь интервалов r=7. Таким образом, число степеней свободы =r–1–k=4. При заданном уровне значимости находим

.

Поскольку , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, т.е. что исходное распределение является нормальным. 

Недостатком критерия ² является то, что группировка данных приводит к некоторой потере информации. Кроме того, остается еще вопрос о выборе числа интервалов и длине самих интервалов. Однако критерий ² имеет и некоторые достоинства: при его применении нет необходимости учитывать точные значения наблюдений. Несомненным преимуществом этого критерия является его универсальность. В частности, он применяется при проверке гипотезы о независимости двух случайных величин, гипотезы о равенстве параметров двух биномиальных распределений и многих других распределений.

Кроме критерия ² можно применять и другие методы проверки гипотез о распределениях. Колмогоровым, Мизесом, Смирновым и другими предложены критерии согласия, основанные на мерах расхождения, зависящих от разности – отклонения оценки эмпирической функции распределения от предполагаемой теоретической функции распределения F(x). К критериям такого рода относится критерий Колмогорова, основанный на предельном распределении величины

. (3.34)

Очевидно, что D_n – случайная величина, поскольку ее значение зависит от объекта . Если гипотеза H₀ справедлива и n, то F_n(x) F(x) при любом x. Поэтому естественно, что при этих условиях D_n0. Если же гипотеза H₀ неверна, то G(x) и FG, а потому .

Теорема Колмогорова. Если функция распределения F(x) непрерывна, то при n

(3.35)

Для функции распределения K(x) созданы таблицы.

При практической реализации критерия Колмогорова сначала по выборке составляют вариационный ряд x₁, x₂, …, x_n. Затем находят значения F(x_i) и определяют значение статистики D_n по формуле

. (3.36)

Наконец, сравнивают полученное значение с критическим значением _крит для заданного уровня значимости  и принимают или отвергают гипотезу. Для вычисления D_n по сгруппированному вариационному ряду лучше использовать формулу

. (3.37)

Критерий Колмогорова своей простотой весьма выгодно отличается от критерия Пирсона и достаточно легко реализуется в компьютерных программах, поэтому его весьма охотно применяют на практике. Следует, однако, оговорить, что этот критерий можно применять только в случае, когда гипотетическое распределение F(x) полностью известно заранее из каких-либо теоретических соображений, т.е. когда известен не только вид функции распределения, но и все входящие в нее параметры. Обычно из теоретических соображений известен только общий вид функции F(x), а входящие в нее числовые параметры определяются по данному статистическому материалу. При применении критерия Пирсона это обстоятельство учитывается соответствующим уменьшением числа степеней свободы распределения ². Критерий Колмогорова такого согласования не предусматривает, поэтому в подобных случаях критерий Колмогорова может дать завышенное значение. Поэтому таких случаях нужно применять модифицированные критерии Колмогорова, при этом закон распределения критерия будет существенным образом зависеть от вида проверяемой функции распределения. Однако для наиболее важных распределений (нормального, показательного и других) составлены таблицы.

ЛЕКЦИЯ 2 25

Глава 3. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 25

§3.1. Выборочный метод 25

§3.2. Числовые характеристики статистического ряда 28

§3.3. Точечные статистические оценки 30

3.3.1. Точечные оценки и требования к ним 30

3.3.2. Точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности 34

§3.4. Интервальные статистические оценки 35

3.4.1. Метод доверительных интервалов 35

3.4.2. Доверительный интервал оценки генеральной средней при известной генеральной дисперсии 37

3.4.3. Доверительный интервал оценки генеральной средней при неизвестной генеральной дисперсии 40

3.4.4. Доверительный интервал оценки генеральной дисперсии 42