3. Проверка гипотез о сравнении параметров генеральной совокупности

При анализе многих экономических показателей приходится сравнивать две генеральные совокупности. Например, можно сравнивать уровни жизни в двух странах по размеру дохода на душу населения; можно сравнивать два варианта инвестирования по размерам средних дивидендов; качество знаний студентов двух университетов – по среднему баллу на комплексном тестовом экзамене. В этих случаях логично провести сравнение по схеме анализа равенства математических ожиданий двух генеральных совокупностей X и Y.

Рассмотрим две случайные величины X~N(a₁,₁) и Y~N(a₂,₂), каждая из которых подчиняется нормальному закону распределения. Пусть имеются две независимые выборки с объемами n₁ и n₂ из генеральных совокупностей X и Y. Необходимо проверить нулевую гипотезу H₀: M[X]=M[Y]. Нулевая гипотеза в приведенной формулировке является сложной, поскольку она справедлива при любых a=M[X]=M[Y], однако она может быть сведена к простой, если рассматривать разность средних, т.е. H₀: M[X]–M[Y]=0.

Относительно параметров и можно выделить четыре варианта предположений:

1. обе дисперсии известны и равны между собой;

2. обе дисперсии известны, но неравны между собой;

3. обе дисперсии неизвестны, но предполагается, что они равны между собой;

4. обе дисперсии неизвестны и их равенство не предполагается.

Критерии проверки гипотез о числовых значениях параметров нормального распределения приведены в таблице 3.8. Отметим, что в таблице 3.8 вариант a) рассматривается как частный случай варианта b). В случае неизвестных дисперсий, равенство которых не предполагается, используется аналог статистики варианта b) с заменой неизвестных дисперсий их оценками

. (3.29)

В этой ситуации указать точное распределение введенной статистики затруднительно. Известно, однако, что это распределение близко к распределению Стьюдента с числом степеней свободы, равным

. (3.30)

Критерий проверки устроен так же, как и для варианта c).

Таким образом, для выбора подходящей проверочной статистики в случае, когда генеральные дисперсии неизвестны, необходимо знать, какое предположение принимается. Прежде всего нужно решить, можно ли считать неизвестные генеральные дисперсии равными или нет. Для принятия решения используют F-критерий Фишера (см. далее).

Таблица 3.9

H0	Предположения	Статистика критерия	H1	Область принятия решения
a1=a2	, известны		a1a2
			a1>a2
			a1<a2
	, неизвестны, но равны	, где	a1a2
			a1>a2
			a1<a2

Зачастую при сравнении двух экономических показателей на первый план выходит анализ разброса значений рассматриваемых случайных величин. Например, при решении вопроса об инвестировании в одну из двух отраслей остро стоит проблема риска вложений. При сравнении уровней жизни в двух странах среднедушевые доходы могут оказаться приблизительно равными. Сопоставив разброс в доходах, мы получаем более точное представление о них. Анализ, аналогичный описанному выше, целесообразно проводить путем сравнения дисперсий исследуемых случайных величин.

Пусть X~N(a₁,₁) и Y~N(a₂,₂), причем их средне квадратичные отклонения ₁ и ₂ неизвестны. Выдвигается гипотеза о равенстве дисперсий . Однако это гипотеза в приведенной формулировке является сложной, поэтому вместо этой гипотезы рассматривается другая, простая гипотеза об отношении дисперсий, т.е. .

В качестве критерия проверки гипотезы H₀ принимают случайную величину

, (3.31)

определяемую отношение большей исправленной выборочной дисперсии к меньшей ( ). Если нулевая гипотеза H₀ верна, то данная статистика имеет F-распределение Фишера с ₁=n₁–1 и ₂=n₂–1 степенями свободы. Различные случаи использования этого критерия Фишера приведены в таблице 3.8.

Таблица 3.8

H0	Предположения	Статистика критерия	H1	Область принятия решения
	a1, a2 неизвестны	, ( )

Пример 3.14. Компания по производству сахарного песка имеет производственные линии для наполнения мешочков сахарным песком по 1 кг. Используя данные, собранные в течение долгого периода времени, управляющий оценивает генеральное стандартное отклонение массы мешочков, поставляемых с линии А в 0,02 кг (₁) и с линии B в 0,04 кг (₂). Из линии A была взята случайная выборка объемом n₁=10 мешочков и найдена средняя масса содержимого в мешочках . Подобная выборка объемом n₂=12 мешочков была взята из линии B и найдена средняя масса . Имеется ли какое-нибудь основание предполагать, что две производственные линии развешивают сахарный песок по мешочкам, средняя масса которых отличается?

Решение. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы, соответствующие условию задачи:

, .

Поскольку генеральные дисперсии ( и ) известны, проверим существенность разности между выборочными средними, используя нормальное распределение на уровне значимости =0,01. Вычисляем наблюдаемое значение критерия

Поскольку критическая область имеет двухсторонний вид, то критическое значение критерия будет определяется из условия

,

или

.

В результате получаем, что |Z_набл|<Z_крит, т.е. нет оснований отклонять нулевую гипотезу. Следовательно, можно полагать, что мешочки, наполненные сахаром на двух производственных линиях, имеют одинаковую среднюю массу. 

Пример 3.15. Для исследования качества масла были сделаны выборки по 10 единиц из каждой последовательной серии (n₁ и n₂) и определена доля воды в процентах x в каждой выборке. В первой серии средний процент составил с исправленным средним квадратичным отклонением . Для второй серии средний процент воды составил со средним квадратичным отклонением . Имеются ли основания предполагать на 5%-ом уровне значимости, что две серии масла имеют различную массовую долю воды?

Решение. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы, соответствующие условию задачи:

, .

Поскольку генеральные дисперсии ( и ) неизвестны, то следует предварительно проверить о равенстве генеральных дисперсий, т.е. проверяем нулевую гипотезу с соответствующей альтернативной гипотезой:

, .

наблюдаемое значение критерия Фишера:

.

Здесь учено, что . Поскольку, в соответствии с выбранной альтернативной гипотезой, критическая область будет двухсторонней, то определяет критической значение критерия Фишера:

В результате получаем, что F_набл<F_крит, т.е. нет оснований отклонять нулевую гипотезу. Следовательно, можно полагать, что две генеральные дисперсии раны друг другу.

Продолжим теперь испытание гипотез о равенстве двух генеральных средних. Для этого вычислим наблюдаемое значение соответствующего критерия Стьюдента:

,

.

Поскольку критическая область также будет двухсторонней, то соответствующая критическое значение критерия Стьюдента будет равно:

.

В результате получаем, что T_набл>T_крит, т.е. нулевая гипотеза отклоняется. Следовательно, можно полагать, что две серии проб имеют разное содержание воды (по массе). 