2. Точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности

На начальном этапе в качестве оценки той или иной характеристики (математического ожидания, дисперсии, и т.п.) берется выборочная числовая характеристика. Затем, исследуя эту оценку, ее уточняют таким образом, чтобы она удовлетворяла описанным выше требованиям.

Доказано, что выборочная средняя

(3.10)

является состоятельной и несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности. Эта оценка является эффективной в классе линейных несмещенных оценок. В частности, в случае нормального распределения генеральной совокупности: N(a,), то оценка (3.10) будет асимптотически эффективной с дисперсией

(3.11)

Мы уже отмечали, если объем генеральной совокупности больше объема выборки, то между повторной и бесповторной выборками нет существенной разницы. В противном случае эту разность следует учитывать. В случае бесповторной выборки расчеты несколько усложняются. Это связано с тем, что случайные величины , выражающие значения бесповторной выборки, будут уже зависимыми величинами. Однако здесь также можно показать, что выборочная средняя бесповторной выборки также является состоятельной и несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания). В случае нормального распределения генеральной совокупности: N(a,), то оценка также будет асимптотически эффективной с дисперсией

(3.12)

Выборочная дисперсия

(3.13)

является состоятельной, но смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности, т.к. доказано, что

.

Иными словами, выборочная дисперсия оценивает генеральную дисперсию с недостатком. Хотя при n , и оценка D_выб является асимптотически несмещенной, в качестве оценки дисперсии ² лучше брать исправленную дисперсию:

. (3.12)

Исправленная дисперсия s² является состоятельной и несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности.

Из состоятельности оценок s² и D_выб следует, что при больших выборках (обычно при n>50) разности между ними практически нет.

Будет ли несмещенная оценка s² дисперсии эффективной? Оказывается, что нет. Если выборка взята из нормальной генеральной совокупности N(a;), то эффективная оценка имеет вид

.

Однако в эту формулу входит математическое ожидание, которое, вообще говоря, неизвестно. Следовательно, в таком случае, эффективной оценки вообще не существует, т.е. нижняя граница не достигается ни при какой несмещенной оценки. Однако существует оптимальная оценка и эта оценка совпадает с s².

В случае бесповторной выборки можно показать, что

.

Поскольку объем генеральной совокупности N, как правило, очень большой (N1), то дробь , причем это равенство является достаточно точным. Поэтому для повторных выборок можно считать, что математическое ожидание выборочной дисперсии равно .

Выборочная относительная частота (выборочная доля)

где m – число элементов выборки, обладающих заданным признаком, является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой вероятности (генеральной доли)

,

где M – число элементов генеральной совокупности, обладающих заданным признаком. При этом

, .