2. Проверка гипотез о числовых значениях параметров

Остановимся теперь на примерах статистических критериев, при этом важные критерии относящиеся к корреляционно-регрессионному анализу будут обсуждаться в соответствующих разделах. Здесь мы опишем несколько примеров статистических критериев, предназначенных для проверки простых статистических гипотез относительно числовых параметров анализируемых законов распределения вероятностей.

Общая схема статистической проверки гипотез:

1. Формулируется основная H₁ и альтернативная H₁ гипотезы.

2. Выбирается соответствующий уровень значимости 

3. Определяется объем выборки n.

4. Выбирается критерий K для проверки H₀.

5. Строится критическая область и область принятия гипотезы (в соответствии с выбранной альтернативной гипотезой).

6. Вычисляется наблюдаемое значение критерия K_набл (по данным выборки).

7. Принимается статистическое решение (если K_набл попадает в область принятия решений, то нет оснований отклонять основную гипотезу, т.е. она принимается, если K_набл попадает в критическую область, то основная гипотеза отвергается).

Критерии проверки гипотез о числовых значениях параметров нормального распределения приведены в таблице 3.

Таблица 3.7

H0	Предположения	Статистика критерия	H1	Область принятия решения
a=a0	2 известно		aa0
			a>a0
			a<a0
	2 неизвестно		aa0
			a>a0
			a<a0
	a неизвестно

Проверка статистических гипотез с использованием критериев значимости может быть проведена на основе доверительных интервалов. Для всех параметрических гипотез Для всех параметрических гипотез область принятия гипотезы H₀: =₀ на уровне значимости  совпадает с доверительным интервалом для параметра  при доверительной вероятности 1–. При этом одностороннему критерию значимости соответствует односторонний доверительный интервал, а двухстороннему критерию значимости – двухсторонний доверительный интервал. Гипотеза H₀ принимается, если значение ₀ накрывается соответствующим доверительным интервалом; в противном случае гипотеза H₀ отвергается.

Если проверяется гипотеза H₀:=₀, то рассматривается доверительный интервал для разности ₁–₂. Гипотеза принимается, если доверительный интервал для разности параметров ₁–₂ накрывает нулевые значения. Для проверки гипотезы о равенстве двух дисперсий H₀: строится доверительный интервал для отношения дисперсий . В этом случае гипотеза H₀ принимается, если доверительный интервал накрывает значение, равное единице.

Пример 3.11. Утверждается, что шарики, изготовленные станком-автоматом, имеют средний диаметр d₀=10 мм. В выборке из n=16 шариков средний диаметр оказался равным мм. Проверить нулевую гипотезу H₀: , считая, что дисперсия известна и равна ²=1 мм². Считать уровень значимости =0,05.

Решение. Введем статистический критерий:

,

который при справедливости нулевой гипотезы H₀, имеет стандартное нормальное распределениеN(0;1). Пусть альтернативная гипотеза имеет вид H₁: , то критическая область будет иметь двухсторонний вид: (–;–Z_крит)(Z_крит;+), где Z_крит определяется из условия

,

или

.

Поскольку

не попадает в критическую область, то нет оснований отклонять нулевую гипотезу, т.е. что шарики, изготовленные станком-автоматом, имеют средний диаметр 10 мм.

Данную задачу можно решить и при помощи доверительных интервалов. Мы уже разбирали, что доверительный интервал для нормального случайной величины при известном  имеет вид

.

Поскольку t_0,95=1,96, то

.

Так как d₀=10(9,84; 10,76), то гипотеза H₀ принимается. 

Пример 3.12. Анализируется доход X фирм в отрасли, имеющей нормальное распределение. Предполагается, что средний доход в данной отрасли составляет не менее 1 млн $. По выборке из 49 фирм получены следующие данные: млн $ и s=0,15 млн $. Не противоречат ли эти результаты выдвинутой гипотезе при уровне значимости =0,01?

Решение. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы:

, .

Для проверки гипотезы H₀ строим критерий

.

Критическая область будет левосторонней, поэтому

.

Поскольку T_набл=–4,67<–2,404=T_крит, то H₀ должна быть отклонена в пользу H₁, что дает основание считать, что средний доход в отрасли меньше, чем 1 млн $. 

Пример 3.13. Точность работы станка-автомата, заполняющего пакеты порошком, определяется совпадением веса пакетов. Дисперсия веса не должна превышать 25 г². По выборке из 20 пакетов определена дисперсия s²=30 г². Определите, требуется ли срочная наладка станка на уровне значимости =0,05.

Решение. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы, соответствующие условию задачи:

, .

Рассчитаем наблюдаемое значение критерия

.

Найдем критическое значение критерия

.

Так как , то нет оснований отклонять основную гипотезу H₀, т.е. имеющиеся данные не дают основания считать, что станок требует срочной наладки. 