4. Интервальные статистические оценки

1. Метод доверительных интервалов

После получения точечной оценки желательно иметь данные о надежности такой оценки. Понятно, что величина является лишь приближенным значением параметра . Вычисленная точечная оценка может быть близка к оцениваемому параметру, а может и очень сильно отличаться от него. Точечная оценка не несет информации о точности процедуры оценивания. Особенно важно иметь сведения о надежности оценок для небольших выборок. В таких случаях следует пользоваться интервальными оценками.

Задачу интервального оценивания в самом общем виде можно сформулировать следующим образом: по данным выборки построить числовой интервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью можно сказать, что внутри этого интервала находится оцениваемый параметр. Здесь существует несколько подходов. Наиболее распространенным методом интервального оценивания является метод доверительных интервалов¹.

Доверительным интервалом для параметра  называется интервал , содержащий неизвестное значение параметра генеральной совокупности с заданной вероятностью , т.е.

.

Число  называется доверительной вероятностью, а число =1– – уровнем надежности. Доверительная вероятность задается априорно и определяется конкретными условиями. Обычно используется =0,9; 0,95; 0,99 (соответственно, =0,1; 0,05; 0,01).

Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервальной оценки, зависит от объема выборки n и доверительной вероятности . При увеличении величины n длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением вероятности  к единице – увеличивается.

Часто доверительный интервал строят симметричным относительно точечной оценки, т.е. в виде

, (3.15)

или

.

Здесь число  называется предельной (или стандартной) ошибкой выборки. Однако симметричные интервалы не всегда удается построить, более того, иногда приходится ограничиваться односторонними доверительными интервалами:

или .

Поскольку в эконометрических задачах часто приходится строить доверительные интервалы параметров случайных величин, имеющих нормальное распределение, приведем схемы их нахождения.

2. Доверительный интервал оценки генеральной средней при известной генеральной дисперсии

Пусть количественный признак X генеральной совокупности имеет нормальное распределение с заданной дисперсией ² и неизвестным математическим ожиданием a. Для оценки параметра a извлечена выборка X₁, X₂, …, X_n, состоящей из n независимых нормальной распределенных случайных величин с параметрами a и , причем  известно, а величину a оценивают по выборке:

.

Оценим точность этого приближенного равенства. Для этого зададим вероятность  и попробуем найти такое число , чтобы выполнялось соотношение

.

Далее воспользуемся свойствами нормального распределения. Известно, что сумма нормально распределенных величин также имеет нормальное распределение. Поэтому средняя величина имеет нормальное распределение, математическое ожидание и дисперсия которой равны

, .

Следовательно,

.

Воспользуемся теперь формулой нахождения вероятностей отклонения нормально распределенной случайной величины от математического ожидания:

,

где (x) – функция Лапласа. Заменяя X на и  на , получим

,

где . Из последнее равенства находим, что предельная ошибка выборки будет равна

. (3.16)

Тогда

.

Приняв во внимание, что доверительная вероятность задана и равна , получим окончательный результат.

Интервальная оценка генеральной средней (математического ожидания) имеет вид

, (3.17)

или более кратко

, (3.18)

где число t_ определяется из равенства .

Приведем значения t_ для широко распространенных значений доверительной вероятности:

, , .

Обсудим, как влияет на точность оценивания параметра a объем выборки n, величина среднего квадратичного отклонения , а также значение доверительной вероятности .

а) При увеличении n точность оценки увеличивается. К сожалению, увеличение точности (т.е. уменьшение длины доверительного интервала) пропорционально , а не 1/n, т.е. происходит гораздо медленнее, чем рост числа наблюдений. Например, если мы хотим увеличить точность выводов в 10 раз чисто статистическими средствами, то мы должны увеличить объем выборки в 100 раз.

б) Чем больше , тем ниже точность. Зависимость точности от этого параметра носит линейный характер.

в) Чем выше доверительная вероятность , тем больше значение параметра t_, т.е. тем ниже точность. При этом между  и t_ существует нелинейная связь. С увеличением значение t_ резко увеличивается ( при ). Поэтому с большой уверенностью (с высокой доверительной вероятностью) мы можем гарантировать лишь относительно невысокую точность. (Доверительный интервал окажется широким.) И наоборот: когда мы указываем для неизвестного параметра a относительно узкие пределы, мы рискуем совершить ошибку – с относительно высокой вероятностью.

Отметим, что величина

(3.19)

называется средней ошибкой выборки. Для бесповторной выборки эта формула примет вид

. (3.20)

Тогда предельная ошибка выборки  будет представлять собой t-кратную среднюю ошибку:

.

Пример 3.7. На основе продолжительных наблюдений за весом X пакетов орешков, заполняемых автоматически, установлено, что среднее квадратичное отклонение веса пакетов равно =10 г. Взвешено 25 пакетов, при этом их средний вес составил . В каком интервале с надежностью 95% лежит истинное значение среднего веса пакетов?

Решение. Логично считать, случайная величина X имеет нормальный закон распределения: . Найдем среднюю ошибку выборки

.

Для определения 95%-го доверительного интервала вычислим предельную ошибку выборки

.

Следовательно 95%-й доверительный интервал для истинное значение среднего веса пакетов будет иметь вид

,

или

.

На первый взгляд может показаться, что полученный результат представляет только теоретический результат, поскольку среднее квадратичное отклонение , как правило, тоже неизвестно и вычисляется по выборочным данным. Однако если выборка достаточно большая, то полученный результат вполне приемлем для практического использования, поскольку функция распределения будет мало отличаться от нормальной, а оценка дисперсии s² будет достаточно близка к истинному значению ². Более того, полученный результат часто используют и в том случае, когда распределение генеральной совокупности отличается нормального. Это обусловлено тем, что сумма независимых случайных величин, в силу центральной предельной теоремы, при больших выборках имеет распределение, близкое к нормальному. 

Пример 3.8. Предположим, что в результате выборочного обследования жилищных условий жителей города на основе собственно-случайной повторной выборки, получен следующий вариационный ряд:

Таблица 3.5

Общая (полезная) площадь жилищ, приходящихся на 1 чел., м2	До 5,0	5,0–10,0	10,0–15,0	15,0–20,0	20,0–25,0	25,0–30,0	30,0 и более
Число жителей	8	95	204	270	210	130	83

Построить 95%-доверительный интервал для изучаемого признака.

Решение. Рассчитаем выборочную среднюю величину и дисперсию изучаемого признака.

Таблица 3.6

Общая площадь жилищ, приходящаяся на 1 чел., м2	Число жителей, ni	Середина интервала, xi
До 5,0	8	2,5	20,0	50,0
5,0–10,0	95	7,5	712,5	5343,8
10,0–15,0	204	12,5	2550,0	31875,0
15,0–20,0	270	17,5	4725,0	82687,5
20,0–25,0	210	22,5	4725,0	106312,5
25,0–30,0	130	27,5	3575,0	98312,5
30,0 и более	83	32,5	2697,5	87668,8
Итого	1000	–	19005,0	412250,0

Тогда

; ; .

Средняя ошибка выборки составит

.

Определим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,95 ( ):

.

Установим границы генеральной средней

,

или

.

Таким образом, на основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,95 можно заключить, что средний размер общей площади, приходящейся на 1 чел., в целом по городу лежит в пределах от 18,6 до 19,4 м². 