Доверительный интервал оценки генеральной средней при неизвестной генеральной дисперсии
Выше была решена задача построения интервальной оценки для математического ожидания нормального распределения, когда его дисперсия известна. Однако на практике дисперсия обычно тоже неизвестна и ее вычисляют по той же самой выборке, что и математическое ожидание. Это приводит к необходимости использования другой формулы при определении доверительного интервала для математического ожидания случайной величины, имеющей нормальное распределение. Такая постановка задачи особенно актуальна при малых объемах выборки.
Пусть количественный признак X генеральной совокупности имеет нормальное распределение N(a,), причем оба параметра a и неизвестны. По данным выборки X1, X2, …, Xn, вычислим среднее арифметическое и исправленную дисперсию:
,
.
Для нахождения доверительного интервала в этом случае строится статистика
,
(3.21)
имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы =n–1 независимо от значений параметров a и . Выбрав доверительную вероятность и зная объем выборки n, можно найти такое число t, что будет выполняться равенство
,
или
.
Отсюда находим
интервальную оценку для генеральной средней (математического ожидания) при неизвестном :
,
(3.22)
или более кратко
.
(3.23)
Число t (коэффициент Стьюдента) находится из таблиц для распределения Стьюдента. Отметим, что он является функцией двух аргументов: доверительной вероятности и числа степеней свободы k=n–1, т.е. t=t(,).
Следует быть очень внимательным при использовании таблиц для распределения Стьюдента. Во-первых, обычно в таблицах вместо доверительной вероятности используют уровень надежности =1–. Во-вторых, очень часто в таблицах приводятся значения т.н. одностороннего критерия Стьюдента
,
или
.
В этом случае в
таблицах следует брать значения
,
если в таблице используется уровень
надежности, или
,
если в таблице используется доверительная
вероятность.
Несмотря на кажущееся сходство формул (3.17) и (3.22), между ними имеется существенное различие, заключающееся в том, что коэффициент Стьюдента t зависит не только от доверительной вероятности, но и от объема выборки. Особенно это различие заметно при малых выборках. (Напомним, что при больших выборках различие между распределением Стьюдента и нормальным распределением практически исчезает.) В этом случае использование нормального распределения приводит к неоправданному сужению доверительного интервала, т.е. к неоправданному повышению точности. Например, если n=5 и =0,99, то, пользуясь распределением Стьюдента, получим t=4,6, а используя нормальное распределение, – t=2,58, т.е. доверительный интервал в последнем случае почти в два раза уже, чем интервал при использовании распределения Стьюдента.
Пример
3.9. Аналитик фондового рынка
оценивает среднюю доходность определенных
акций. Случайная выборка 15 дней показала,
что средняя (годовая) доходность
со средним квадратичным отклонением
.
Предполагая, что доходность акций
подчиняется нормальному закону
распределения, постройте 95%-доверительный
интервал для средней доходности
интересующего аналитика вида акций.
Решение.
Поскольку объем выборки n=15,
то необходимо применить распределение
Стьюдента с
степенями свободы. По таблицам для
распределения Стьюдента находим
.
Используя это значение, строим 95%-доверительный интервал:
,
или
.
Следовательно, аналитик может быть на 95% уверен, что средняя годовая доходность по акциям находится между 8,44% и 12,3%.