2. Гурвицорнықтылықкритерийі

ШвейцарияматематигіГурвиц1895жкритерийдіашты.Бұныңанықтамасы:берілгенАРЖсипаттамасытеңдеуінің

түбірлері()теріснақтыбӛлімдергеиеболуларыкерек,бастыанықтаушыменоныңдиаганальминорларыоң(положительный)

болуыӛажет.Анықтауыштыңбасдиагоналынсалуүшінтеңдеудіңбарлықкоэффициеттеріна_1аn-1гедейіниндекстерініңӛсуінеқарайкӛшіріпжазамыз.

«n»жоғарғынемесе«0»-дентӛменкоэффициенттердіңорнынанӛльдер

қойылады

(5.3)

_|

_|

| ||

^|

|

|

Егерсипаттамалытеңдеудіңбарлықкоэффициенттерітерісболсаонда

оларды(-1)гекӛбейтукерек.

Мынадайжағдайларғаорнықтылықтытексереміз.Біріншідәрежелітеңдеу

а₀p+a₁=0ГурвицЖүйеорнықты.

Екіншідәрежелітеңдеу

ГурвицбойыншаЖүйеорнықты.

Үшіншідәрежелітеңдеу

Грувицбойынша

Жүйеорнықты

Тӛртіншідәрежелітеңдеу

Гурвинцбойынша

|

|⁽⁾

_| |Жүйеорнықты

Бесіншідәрежелітеңдеу

Гурвинцбойынша

_| |⁽⁾⁽⁾⁽⁾

⁽⁾⁽⁾

^{| |()()}

⁽⁾

| |

Жүйеорнықты.

Мысал. АРЖ-ның орнықтылығын (4.28) теңдеуімен ӛрнектелгенпроцессіүшінанықтаймыз.Берілгені

к₁=2; к₂=2; к₃=1; К=4.Сипаттамалы теңдеудің коэффициенттерін

есептейміз:

_+0,1+1=1,15cек;

Табылғандардысипатталықтеңдеугеқоямыз

(5.4)

^{1,15p+5=0. (5.5)}

Бұлтеңдеудіңбарлықкоэффициенттеріоң,сондықтанГурвицтіңбір

талабыорындалады.Екіншіталабы-оңболуыкерек.Осыныесептейміз

_|

|⁽⁾

_-оң.Жүйеорнықты.(4.47)бойыншабосжүйекезіндегіжүйенің

орнықтықателіктерінK=4дептабамыз:

Жүйеніңкүшейтукоэффициентінқателік2%аспайтынжағдайда,яғни

0,02болуыкерек.Оныесептеуүшін(4.48)қолданамыз.

Анықтама-тідепесептеп,оныңтерісекендігінтоптық,

соныменжүйеорнықтылығынжоғалтты.

10дәріс

2. Михайловтыңорнықтылықкритерийі

ОрысғалымыМихайловА.Н.1938жылытұықталғанАРЖ-ныңартықтылығынанықтауүшінжиілікорнықтылықкритериінұсынды.Бұлбылайшабролады.(5.1)дегісипаттаманытеңдеудіжоғарғыбуындыкоэффициенткебӛлеміз.

^(5.6)

Бұлтеңдеужалпытүрде“n”комплекстіктүбірлергеиеболады.

^(5.7)

Сипаттамалытеңдеудің(5-6)түбірлеріндепбелгілепмынадайкӛбейткіштергежіктеугеболады.

^()()()()=0 (5.8)

Где–произвольное комплексноечисло

Комплекстіксандаркомплекстікжазықтықтавектормен

кӛрсетілген(5.2сурет).Вектордыңұзындығыкомплекстіксанныңмодуліне

тең,албұрышаргумент0-гетең,егервекторкӛрсеткіштүріндежазылса

^.Вектордыңұшындажатқаннүктеніңкоординатынбылайжазуғаболады.(5.7қара)

(5.8)дегікӛбейткіштері,бұларвекторалымдарыболыпкеледі(5.3сурет).Вектор–кезкелгенкомплекстіксанболғаннанкейін,ол

жорамалболуыдамүмкін,яғни.Бұныбейнелейтінвекторжорамал

осьпенқабаттасады.(5.8)дегікӛбейткіштербылайжазылады

^(5.9)

ӛзгергенжағдайда(5-9)шамасывекторларжинағыболады(5.4сурет).

2. сурет-Соңғыкомплекстікжазықтықтабелгілеу

2. сурет-Векторларалымы

2. сурет-Вектордыңкомплекстікжартылайжазықтықтағыайналуы.

Орнықтылықтыосыәдіспентәжрибекезіндезерттегенуақытта,түбірмәндерінтабуқажетемес.(5-1)сипаттаматеңдеуді(5-6)түргекелтіруқажері

жоқ.()түріндегівекторларкӛбейтіндісін(5-1)дентабуғаболады.Олүшін-ныңорнына–ніқоюкерек,ондакомплекстікфункцияпайда

болады.Олүшін-ныңорнына–ніқоюкерек,ондакомплекстікфункция

пайдаболады

⁽⁾⁽)()^{() (5.10)}

Отделиввэтомвырожениивещественнуючастьотмнимой,получим

⁽⁾

()^{() } (5.11)}

–ға0денкедейінәртүрлімәндерберіп()және()

мәндерінтабамыз,бұларвектор()ұштарының–ныңәрбірмәндеріне

арналғанкомплекстікжазықтықтағыкоординатабопкеледі.Егерқисық

сызықпентабылғаннүктелердіқоссақ,ондасипаттамалыққисықтынемесе

Михайловгадогрофыналамыз. –ныңмәнінӛзгерткенде⁽⁾

векторыӛзініңұшыменгодографбойыншақозғаладыдабелгілібірбұрышқа

бұрылады.Жүйеорнықтыболғанкезде,векторбұрылубұрышы,

болғанда,годографкомплекстікжазықтықта“”квадраттарарқылыӛтуіде

координатбасыарқылыӛтпейді(5.5сурет1-сызық).Егержүйеорнықсыз

болса,ондавектордыңжалпыбұрылубұрышы

ценкемболадыдажәне

годограф“”квадраттарарқылыӛтпейді.Михайловгодографыарқылы

жүйеніңқажеттеншек(запас)орнықтылығынанықтауғаболады.ОлүшінОАжәнеOВкесінділерінсаламыз.ЕгерOВОА-данкӛпұзынболса,ондажүйеӛтеорнықтыболады.ОВқысқарғансайынорнықтылықазаяды.Анүктесі

Болғандагодогрофтыбастапқынүктесіболады,оныңабциссасымәніжағынансипатталыпкернеу(5-10)–ныңбасмүшесінетеңболады.В

нүктесініңабциссасынтабуүшін(5.11)теңдеуі–ның()–нінӛлгеайналдыратынмәнінтабукерек.Оданкейіноны^()қояды(5-11).Осытабылған^()–ныңмәндерігодографтыңнақтыосьпенқиылуының,яғни

абциссасыболады.ЕңазтерісмәнВнүктесініңабциссасыболады.Жүйенің

жалпыкүшейтукоэффициентіӛскенде,Михайловгадографытүрінӛзгертпей,оңғақарайығысадыда,біржағдайда

()координатбасыменӛтеді.Күшейту

коэффициентодансайынұлғайғансайын,годографәріқарайоңғаығысады

дажүйеорнықтылығынжоғалтады.Күшейтукоэффициентініңшектімәнін

_табуүшін(5.11)теңдеуін^(),()депшешукерек.Олүшін

()–нінӛлгеайналдыратын–ныңмәнінтабукерек.Оны⁽⁾

теңдеуінеқойыпмәнінтабады.Егерреттеужүйестатикалықболса,онда

₊₁осыдан

Егержүйеастатикалықболса,онда

Мысал.Михайловкритерийменжүйеніңорнықтылығынкӛрсетуқажет.

Олүшінтӛртіншідәрежелі(5.5)теңдеудікӛрсетеміз.

2. сурет-Михайловгодографы

1-тӛртіншідәрежеліорнықталғанжүйе2-орнықталмағанжүйе

БұлтеңдеудеP–ныңорнына-ныкоямыз

⁽⁾

Нақтыменжорамалбӛліктерінбӛлшектейміз

⁽⁾

⁽⁾

-ғаәртүрлімәндерберіпгодографтыңнүктелерінтабамыз(таблица